MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcomfsupp 18668
Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s · = ( ·𝑠𝑊)
lcomf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
lcomf.h (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
lcomf.i (𝜑𝐼𝑉)
lcomfsupp.z 0 = (0g𝑊)
lcomfsupp.y 𝑌 = (0g𝐹)
lcomfsupp.j (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lcomfsupp (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupp.j . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 8138 . . 3 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 lcomf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lcomf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lcomf.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lcomf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 lcomf.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lcomf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
9 lcomf.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
10 lcomf.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcomf 18667 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻):𝐼𝐵)
12 eldifi 3689 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥𝐼)
13 ffn 5940 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐼𝐾𝐺 Fn 𝐼)
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
16 ffn 5940 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐼𝐵𝐻 Fn 𝐼)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
1910adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
20 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
21 fnfvof 6782 . . . . . . 7 (((𝐺 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2215, 18, 19, 20, 21syl22anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2312, 22sylan2 489 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
24 ssid 3582 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
26 lcomfsupp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (0g𝐹)
27 fvex 6094 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) ∈ V
2826, 27eqeltri 2679 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
308, 25, 10, 29suppssr 7186 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺𝑥) = 𝑌)
3130oveq1d 6538 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)) = (𝑌 · (𝐻𝑥)))
327adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
339ffvelrnda 6248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
34 lcomfsupp.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
356, 3, 5, 26, 34lmod0vs 18661 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3632, 33, 35syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3712, 36sylan2 489 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3823, 31, 373eqtrd 2643 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
3911, 38suppss 7185 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
40 ssfi 8038 . . 3 (((𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin ∧ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)) → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
412, 39, 40syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
42 inidm 3779 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
4314, 17, 10, 10, 42offn 6779 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼)
44 fnfun 5884 . . . 4 ((𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
46 ovex 6551 . . . 4 (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V
4746a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V)
48 fvex 6094 . . . . 5 (0g𝑊) ∈ V
4934, 48eqeltri 2679 . . . 4 0 ∈ V
5049a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
51 funisfsupp 8136 . . 3 ((Fun (𝐺𝑓 · 𝐻) ∧ (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
5245, 47, 50, 51syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
5341, 52mpbird 245 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  cdif 3532  wss 3535   class class class wbr 4573  Fun wfun 5780   Fn wfn 5781  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766   supp csupp 7155  Fincfn 7814   finSupp cfsupp 8131  Basecbs 15637  Scalarcsca 15713   ·𝑠 cvsca 15714  0gc0g 15865  LModclmod 18628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-supp 7156  df-er 7602  df-en 7815  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-ring 18314  df-lmod 18630
This theorem is referenced by:  islindf4  19934
  Copyright terms: Public domain W3C validator