MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv12ad 11875
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
lediv12ad.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lediv12ad.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lediv12ad.6 (𝜑𝐴𝐵)
lediv12ad.7 (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
lediv12ad (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12ad
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmul1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2jca 554 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4 lediv12ad.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5 lediv12ad.6 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
64, 5jca 554 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵))
7 ltmul1d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87rpred 11816 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
9 lediv12ad.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
108, 9jca 554 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
117rpgt0d 11819 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐶)
12 lediv12ad.7 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1311, 12jca 554 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐶𝐶𝐷))
14 lediv12a 10860 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶𝐶𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
153, 6, 10, 13, 14syl22anc 1324 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   < clt 10018  cle 10019   / cdiv 10628  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  24659  chpo1ubb  25070  selbergb  25138  selberg2b  25141  dvdivbd  39441
  Copyright terms: Public domain W3C validator