MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legbtwn 25406
Description: Deduce betweenness from "less than" relation. Corresponds loosely to Proposition 6.13 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legbtwn.1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
legbtwn.2 (𝜑 → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐵))
Assertion
Ref Expression
legbtwn (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))

Proof of Theorem legbtwn
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
2 legval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 legval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
4 legval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 legval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 legid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
9 legid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
11 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
13 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
142, 3, 4, 6, 12, 10, 8, 13tgbtwncom 25300 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
152, 3, 4, 6, 10, 12tgbtwntriv1 25303 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
16 legval.l . . . . . . . 8 = (≤G‘𝐺)
17 legbtwn.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐵))
1817adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐵))
192, 3, 4, 16, 6, 12, 10, 8, 13btwnleg 25400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 𝐵) (𝐶 𝐴))
202, 3, 4, 16, 6, 12, 8, 12, 10, 18, 19legtri3 25402 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
212, 3, 4, 6, 12, 8, 12, 10, 20tgcgrcomlr 25292 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶))
22 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝐶))
232, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 10, 10, 12, 14, 15, 21, 22tgcgrsub 25321 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
242, 3, 4, 6, 8, 10, 10, 23axtgcgrid 25279 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
2524, 13eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
2624oveq2d 6626 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐵))
2725, 26eleqtrd 2700 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
28 legbtwn.1 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
291, 27, 28mpjaodan 826 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  distcds 15882  TarskiGcstrkg 25246  Itvcitv 25252  ≤Gcleg 25394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-trkgc 25264  df-trkgb 25265  df-trkgcb 25266  df-trkg 25269  df-cgrg 25323  df-leg 25395
This theorem is referenced by:  tgcgrsub2  25407  krippenlem  25502
  Copyright terms: Public domain W3C validator