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Theorem lhpexle3lem 35769
Description: There exists atom under a co-atom different from any 3 other atoms. TODO: study if adant*,simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle2 35768 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
61, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
7 simp31 1228 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝 𝑊)
8 simp32 1229 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑋)
9 simp1r 1217 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
108, 9neeqtrd 2989 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑌)
11 simp33 1230 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑍)
128, 10, 113jca 1403 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
137, 12jca 555 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
14133exp 1112 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))))
1514reximdvai 3141 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))))
166, 15mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
17 simprrr 824 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 𝑊)
18 simp11l 1345 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
1918adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
20 hllat 35122 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
22 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 3atbase 35048 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
2423ad2antrl 766 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25 simp121 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋𝐴)
2722, 3atbase 35048 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
29 simp122 1367 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
3029adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌𝐴)
3122, 3atbase 35048 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐴𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
33 simprrl 823 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
34 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3522, 2, 34latnlej1l 17241 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑋)
3621, 24, 28, 32, 33, 35syl131anc 1476 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑋)
3722, 2, 34latnlej1r 17242 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑌)
3821, 24, 28, 32, 33, 37syl131anc 1476 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑌)
39 simpl3 1208 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
40 nbrne2 4812 . . . . . . . . 9 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑍𝑝)
4140necomd 2975 . . . . . . . 8 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
4239, 33, 41syl2anc 696 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑍)
4336, 38, 423jca 1403 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
4417, 43jca 555 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
45 simp11 1222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
46 simp131 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
47 simp132 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
48 eqid 2748 . . . . . . . 8 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
492, 48, 34, 3, 4lhp2lt 35759 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
5045, 25, 46, 29, 47, 49syl122anc 1472 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
5122, 34, 3hlatjcl 35125 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
5218, 25, 29, 51syl3anc 1463 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
53 simp11r 1346 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
5422, 4lhpbase 35756 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5622, 2, 48, 3hlrelat1 35158 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5718, 52, 55, 56syl3anc 1463 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5850, 57mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))
5944, 58reximddv 3144 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
60593expa 1111 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
61 simp11l 1345 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
6261adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
6362, 20syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
6423ad2antrl 766 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
65 simp121 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
6665adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋𝐴)
67 simp122 1367 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
6867adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌𝐴)
6962, 66, 68, 51syl3anc 1463 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
70 simp11r 1346 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
7170adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊𝐻)
7271, 54syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
73 simprr3 1253 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
74 simp131 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
7574adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 𝑊)
76 simp132 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
7776adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 𝑊)
7866, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7968, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8022, 2, 34latjle12 17234 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8163, 78, 79, 72, 80syl13anc 1465 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8275, 77, 81mpbi2and 994 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊)
8322, 2, 63, 64, 69, 72, 73, 82lattrd 17230 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 𝑊)
84 simprr1 1249 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑋)
85 simprr2 1251 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑌)
86 simpl3 1208 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
87 nbrne2 4812 . . . . . . . 8 ((𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
8873, 86, 87syl2anc 696 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑍)
8984, 85, 883jca 1403 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
9083, 89jca 555 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
91 simp2 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝑌)
922, 34, 3hlsupr 35144 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9361, 65, 67, 91, 92syl31anc 1466 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9490, 93reximddv 3144 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
95943expa 1111 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9660, 95pm2.61dan 867 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9716, 96pm2.61dane 3007 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  lecple 16121  ltcplt 17113  joincjn 17116  Latclat 17217  Atomscatm 35022  HLchlt 35109  LHypclh 35742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110  df-lhyp 35746
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