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Theorem lhpexle3lem 34774
Description: There exists atom under a co-atom different from any 3 other atoms. TODO: study if adant*,simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle2 34773 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
61, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
7 simp31 1095 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝 𝑊)
8 simp32 1096 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑋)
9 simp1r 1084 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
108, 9neeqtrd 2859 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑌)
11 simp33 1097 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑍)
128, 10, 113jca 1240 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
137, 12jca 554 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
14133exp 1261 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))))
1514reximdvai 3009 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))))
166, 15mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
17 simprrr 804 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 𝑊)
18 simp11l 1170 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
20 hllat 34127 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
22 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 3atbase 34053 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
2423ad2antrl 763 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25 simp121 1191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋𝐴)
2722, 3atbase 34053 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
29 simp122 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌𝐴)
3122, 3atbase 34053 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐴𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
33 simprrl 803 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
34 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3522, 2, 34latnlej1l 16990 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑋)
3621, 24, 28, 32, 33, 35syl131anc 1336 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑋)
3722, 2, 34latnlej1r 16991 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑌)
3821, 24, 28, 32, 33, 37syl131anc 1336 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑌)
39 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
40 nbrne2 4633 . . . . . . . . 9 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑍𝑝)
4140necomd 2845 . . . . . . . 8 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
4239, 33, 41syl2anc 692 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑍)
4336, 38, 423jca 1240 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
4417, 43jca 554 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
45 simp11 1089 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
46 simp131 1194 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
47 simp132 1195 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
48 eqid 2621 . . . . . . . 8 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
492, 48, 34, 3, 4lhp2lt 34764 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
5045, 25, 46, 29, 47, 49syl122anc 1332 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
5122, 34, 3hlatjcl 34130 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
5218, 25, 29, 51syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
53 simp11r 1171 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
5422, 4lhpbase 34761 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5622, 2, 48, 3hlrelat1 34163 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5718, 52, 55, 56syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5850, 57mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))
5944, 58reximddv 3012 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
60593expa 1262 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
61 simp11l 1170 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
6261adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
6362, 20syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
6423ad2antrl 763 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
65 simp121 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
6665adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋𝐴)
67 simp122 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌𝐴)
6962, 66, 68, 51syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
70 simp11r 1171 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
7170adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊𝐻)
7271, 54syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
73 simprr3 1109 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
74 simp131 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
7574adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 𝑊)
76 simp132 1195 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
7776adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 𝑊)
7866, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7968, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8022, 2, 34latjle12 16983 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8163, 78, 79, 72, 80syl13anc 1325 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8275, 77, 81mpbi2and 955 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊)
8322, 2, 63, 64, 69, 72, 73, 82lattrd 16979 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 𝑊)
84 simprr1 1107 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑋)
85 simprr2 1108 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑌)
86 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
87 nbrne2 4633 . . . . . . . 8 ((𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
8873, 86, 87syl2anc 692 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑍)
8984, 85, 883jca 1240 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
9083, 89jca 554 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
91 simp2 1060 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝑌)
922, 34, 3hlsupr 34149 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9361, 65, 67, 91, 92syl31anc 1326 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9490, 93reximddv 3012 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
95943expa 1262 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9660, 95pm2.61dan 831 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9716, 96pm2.61dane 2877 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  ltcplt 16862  joincjn 16865  Latclat 16966  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  LHypclh 34747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-lhyp 34751
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