MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidldvgen 19183
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidldvgen.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidldvgen.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lidldvgen.d = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidldvgen ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥,   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐺

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
32snssd 4314 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → {𝐺} ⊆ 𝐵)
4 lidldvgen.k . . . . . . 7 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5 lidldvgen.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
64, 5rspssid 19151 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} ⊆ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
71, 3, 6syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
8 snssg 4301 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
983ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
107, 9mpbird 247 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}))
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10 = (∥r𝑅)
125, 4, 11rspsn 19182 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦𝐺 𝑦})
13123adant2 1078 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦𝐺 𝑦})
1413eleq2d 2684 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦𝐺 𝑦}))
15 vex 3192 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
16 breq2 4622 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺 𝑦𝐺 𝑥))
1715, 16elab 3337 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦𝐺 𝑦} ↔ 𝐺 𝑥)
1814, 17syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 𝑥))
1918biimpd 219 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) → 𝐺 𝑥))
2019ralrimiv 2960 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥)
2110, 20jca 554 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥))
22 eleq2 2687 . . . 4 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺𝐼𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺})))
23 raleq 3130 . . . 4 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥))
2422, 23anbi12d 746 . . 3 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → ((𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥) ↔ (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥)))
2521, 24syl5ibrcom 237 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
26 df-ral 2912 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐼𝐺 𝑥))
27 ssab 3656 . . . . . . . 8 (𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐼𝐺 𝑥))
2826, 27bitr4i 267 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
2928biimpi 206 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
3029ad2antll 764 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
315, 4, 11rspsn 19182 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
32313adant2 1078 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
3332adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
3430, 33sseqtr4d 3626 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
35 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
36 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → 𝐼𝑈)
37 snssi 4313 . . . . . . 7 (𝐺𝐼 → {𝐺} ⊆ 𝐼)
3837adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → {𝐺} ⊆ 𝐼)
39 lidldvgen.u . . . . . . 7 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
404, 39rspssp 19154 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈 ∧ {𝐺} ⊆ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4241adantrr 752 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4334, 42eqssd 3604 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺}))
4443ex 450 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → ((𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺})))
4525, 44impbid 202 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cfv 5852  Basecbs 15788  Ringcrg 18475  rcdsr 18566  LIdealclidl 19098  RSpancrsp 19099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-0g 16030  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-subg 17519  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-dvdsr 18569  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-lidl 19102  df-rsp 19103
This theorem is referenced by:  lpigen  19184  ig1prsp  23854
  Copyright terms: Public domain W3C validator