Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp3 33870
 Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o 0 = (0g𝐷)
lkrshp3.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrshp3 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3
StepHypRef Expression
1 lkrshp3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrshp3.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lkrshp3.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19025 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
81, 2, 6, 7lshpne 33746 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
9 lkrshp3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
10 lkrshp3.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp3.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp3.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lkrshp3.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
1410, 11, 1, 12, 13lkr0f 33858 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
155, 9, 14syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1716necon3bid 2834 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
188, 17mpbid 222 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
193adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
209adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
21 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
221, 10, 11, 2, 12, 13lkrshp 33869 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1323 . 2 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2418, 23impbida 876 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {csn 4148   × cxp 5072  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LVecclvec 19021  LSHypclsh 33739  LFnlclfn 33821  LKerclk 33849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lshyp 33741  df-lfl 33822  df-lkr 33850 This theorem is referenced by:  lshpset2N  33883  lduallkr3  33926
 Copyright terms: Public domain W3C validator