Theorem lspid 19030

Description: The span of a subspace is itself. (spanid 28334 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lspid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lspid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 18985	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lspid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	1, 2, 4	lspval 19023	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	3, 5	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
7		intmin 4529	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
9	6, 8	eqtrd 2685	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ⊆ wss 3607  ∩ cint 4507  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020

This theorem is referenced by:  lspidm  19034  lspssp  19036  lspsn0  19056  lspsolvlem  19190  lbsextlem3  19208  islshpsm  34585  lshpnel2N  34590  lssats  34617  lkrlsp3  34709  dochspocN  36986  dochsatshp  37057  filnm  37977