Theorem lspid 19756

Description: The span of a subspace is itself. (spanid 29126 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lspid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lspid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 19710	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lspid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	1, 2, 4	lspval 19749	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	3, 5	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
7		intmin 4898	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
8	7	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
9	6, 8	eqtrd 2858	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144   ⊆ wss 3938  ∩ cint 4878  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746

This theorem is referenced by:  lspidm  19760  lspssp  19762  lspsn0  19782  lspsolvlem  19916  lbsextlem3  19934  islshpsm  36118  lshpnel2N  36123  lssats  36150  lkrlsp3  36242  dochspocN  38518  dochsatshp  38589  filnm  39697