Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel2N 34590
Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u (𝜑𝑈𝑆)
lshpnel2.t (𝜑𝑈𝑉)
lshpnel2.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel2.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → ¬ 𝑋𝑈)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lshpnel2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑈𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑋𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 34589 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑈𝐻) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
1810adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
19 lveclmod 19154 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2221, 4lspid 19030 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2320, 14, 22syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2423uneq1d 3799 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
2524fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
263, 21lssss 18985 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
2810snssd 4372 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
293, 4lspun 19035 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 19025 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 19134 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
3635eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 500 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4220 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 3800 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
4039fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
4140eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
4241rspcev 3340 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
4318, 37, 42syl2anc 694 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
447adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
453, 4, 21, 6islshp 34584 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4715, 17, 43, 46mpbir3and 1264 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
4813, 47impbida 895 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150  LSHypclsh 34580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lshyp 34582
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator