Theorem lshpnel2N 34590

Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lshpnel2.t	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
lshpnel2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel2N	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
3		lshpnel2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lshpnel2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lshpnel2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnel2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnel2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpnel2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	3, 4, 5, 6, 8, 9, 11	lshpnelb 34589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
13	2, 12	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14		lshpnel2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
16		lshpnel2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
18	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 19154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21		lshpnel2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 4	lspid 19030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
23	20, 14, 22	syl2anc 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
24	23	uneq1d 3799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
25	24	fveq2d 6233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
26	3, 21	lssss 18985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
28	10	snssd 4372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
29	3, 4	lspun 19035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
30	20, 27, 28, 29	syl3anc 1366	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
31	3, 21, 4	lspsncl 19025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
32	20, 10, 31	syl2anc 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
33	21, 4, 5	lsmsp 19134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
34	20, 14, 32, 33	syl3anc 1366	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
35	25, 30, 34	3eqtr4rd 2696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
36	35	eqeq1d 2653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
37	36	biimpa 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38		sneq 4220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
39	38	uneq2d 3800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
40	39	fveq2d 6233	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
41	40	eqeq1d 2653	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
42	41	rspcev 3340	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
43	18, 37, 42	syl2anc 694	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
44	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
45	3, 4, 21, 6	islshp 34584	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
47	15, 17, 43, 46	mpbir3and 1264	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
48	13, 47	impbida 895	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150  LSHypclsh 34580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lshyp 34582

This theorem is referenced by: (None)