MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr0 19073
Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr0.z 0 = (0g𝑊)
lsppr0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppr0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr0 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsppr0
StepHypRef Expression
1 lsppr0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lsppr0.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 eqid 2620 . . 3 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4 lsppr0.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lsppr0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
6 lsppr0.z . . . . 5 0 = (0g𝑊)
71, 6lmod0vcl 18873 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
84, 7syl 17 . . 3 (𝜑0𝑉)
91, 2, 3, 4, 5, 8lsmpr 19070 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })))
106, 2lspsn0 18989 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
114, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1211oveq2d 6651 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }))
131, 2lspsnsubg 18961 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
144, 5, 13syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
156, 3lsm01 18065 . . 3 ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
1614, 15syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
179, 12, 163eqtrd 2658 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  {csn 4168  {cpr 4170  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  0gc0g 16081  SubGrpcsubg 17569  LSSumclsm 18030  LModclmod 18844  LSpanclspn 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953
This theorem is referenced by:  lspfixed  19109  dihprrn  36534  dvh3dim  36554  mapdindp2  36829  hdmap11lem2  36953
  Copyright terms: Public domain W3C validator