MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0vcl 18886
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 27844 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 18864 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 0vcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 0vcl.z . . 3 0 = (0g𝑊)
42, 3grpidcl 17444 . 2 (𝑊 ∈ Grp → 0𝑉)
51, 4syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  cfv 5886  Basecbs 15851  0gc0g 16094  Grpcgrp 17416  LModclmod 18857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-lmod 18859
This theorem is referenced by:  lmodvs0  18891  lmodfopne  18895  lsssn0  18942  lspun0  19005  lsppr0  19086  lspsneq  19116  lspprat  19147  ip0r  19976  ocvlss  20010  nmhmcn  22914  lfl0  34178  lflmul  34181  lkrlss  34208  dochexmid  36583  lcfl8  36617  lcd0vcl  36729  mapdh6bN  36852  mapdh6cN  36853  hdmap1val0  36915  hdmap1l6b  36927  hdmap1l6c  36928  hdmapval0  36951  hdmaprnlem17N  36981  hdmap14lem13  36998  hdmaplkr  37031  lcoel0  41988
  Copyright terms: Public domain W3C validator