MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0vcl 18657
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 27046 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 18635 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 0vcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 0vcl.z . . 3 0 = (0g𝑊)
42, 3grpidcl 17215 . 2 (𝑊 ∈ Grp → 0𝑉)
51, 4syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  Basecbs 15637  0gc0g 15865  Grpcgrp 17187  LModclmod 18628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-lmod 18630
This theorem is referenced by:  lmodvs0  18662  lmodfopne  18666  lsssn0  18711  lspun0  18774  lsppr0  18855  lspsneq  18885  lspprat  18916  ip0r  19742  ocvlss  19773  nmhmcn  22655  lfl0  33169  lflmul  33172  lkrlss  33199  dochexmid  35574  lcfl8  35608  lcd0vcl  35720  mapdh6bN  35843  mapdh6cN  35844  hdmap1val0  35906  hdmap1l6b  35918  hdmap1l6c  35919  hdmapval0  35942  hdmaprnlem17N  35972  hdmap14lem13  35989  hdmaplkr  36022  lcoel0  42009
  Copyright terms: Public domain W3C validator