MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppreli 19071
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppreli.p + = (+g𝑊)
lsppreli.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppreli.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppreli.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppreli.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppreli.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppreli.a (𝜑𝐴𝐾)
lsppreli.b (𝜑𝐵𝐾)
lsppreli.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppreli.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppreli (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsppreli.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lsppreli.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsppreli.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspsnsubg 18961 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
61, 2, 5syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lsppreli.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
83, 4lspsnsubg 18961 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
91, 7, 8syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 lsppreli.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
11 lsppreli.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 lsppreli.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 lsppreli.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 18982 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15 lsppreli.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 18982 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17 lsppreli.p . . . 4 + = (+g𝑊)
18 eqid 2620 . . . 4 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1917, 18lsmelvali 18046 . . 3 ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 1325 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 19070 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2220, 21eleqtrrd 2702 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  {csn 4168  {cpr 4170  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  SubGrpcsubg 17569  LSSumclsm 18030  LModclmod 18844  LSpanclspn 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953
This theorem is referenced by:  lspexch  19110  baerlem3lem1  36815  baerlem5alem1  36816  baerlem5blem1  36817
  Copyright terms: Public domain W3C validator