Theorem ltexpri 10465

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpri

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 10420	. . 3 ⊢ <P ⊆ (P × P)
2	1	brel 5617	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
3		ltprord 10452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
4		oveq2 7164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 +Q 𝑦) = (𝑤 +Q 𝑧))
5	4	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6	5	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
7	6	exbidv 1922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
8	7	cbvabv 2889	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)}
9	8	ltexprlem5 10462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
10	9	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P)
11	8	ltexprlem6 10463	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) ⊆ 𝐵)
12	8	ltexprlem7 10464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
13	11, 12	eqssd 3984	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵)
14		oveq2 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}))
15	14	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵))
16	15	rspcev 3623	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)} ∈ P ∧ (𝐴 +P {𝑦 ∣ ∃𝑤(¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +Q 𝑦) ∈ 𝐵)}) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
17	10, 13, 16	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
18	17	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
19	3, 18	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
20	2, 19	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799  ∃wrex 3139   ⊊ wpss 3937   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156   +_Q cplq 10277  Pcnp 10281   +_P cpp 10283  <_P cltp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-ni 10294  df-pli 10295  df-mi 10296  df-lti 10297  df-plpq 10330  df-mpq 10331  df-ltpq 10332  df-enq 10333  df-nq 10334  df-erq 10335  df-plq 10336  df-mq 10337  df-1nq 10338  df-rq 10339  df-ltnq 10340  df-np 10403  df-plp 10405  df-ltp 10407

This theorem is referenced by:  ltaprlem  10466  recexsrlem  10525  mulgt0sr  10527  map2psrpr  10532