Theorem mdetunilem5 21225

Description: Lemma for mdetuni 21231. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetunilem5.ph	⊢ (𝜓 → 𝜑)
mdetunilem5.e	⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
mdetunilem5.fgh	⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem5	⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetunilem5.ph	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝜑)
2		mdetuni.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetuni.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		mdetuni.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mdetuni.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜓 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mdetunilem5.fgh	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾 ∧ 𝐻 ∈ 𝐾))
11	10	simp1d 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
12	10	simp2d 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
13		mdetuni.pg	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14	3, 13	ringacl 19328	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐾) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
15	9, 11, 12, 14	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
16	10	simp3d 1140	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐻 ∈ 𝐾)
17	15, 16	ifcld 4512	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) ∈ 𝐾)
18	2, 3, 4, 6, 8, 17	matbas2d 21032	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵)
19	11, 16	ifcld 4512	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
20	2, 3, 4, 6, 8, 19	matbas2d 21032	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵)
21	12, 16	ifcld 4512	. . 3 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) ∈ 𝐾)
22	2, 3, 4, 6, 8, 21	matbas2d 21032	. 2 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵)
23		mdetunilem5.e	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ 𝑁)
24		snex 5332	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ∈ V)
26	23	snssd 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 → {𝐸} ⊆ 𝑁)
27	26	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → {𝐸} ⊆ 𝑁)
28		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ {𝐸})
29	27, 28	sseldd 3968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
30	29, 11	syld3an2 1407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
31	29, 12	syld3an2 1407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝐾)
32		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹))
33		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
34	25, 6, 30, 31, 32, 33	offval22 7783	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)))
35	34	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)))
36		mposnif 7268	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺))
37		mposnif 7268	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹)
38		mposnif 7268	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺)
39	37, 38	oveq12i 7168	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ 𝐺))
40	35, 36, 39	3eqtr4g 2881	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
41		ssid 3989	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
42		resmpo 7272	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
43	26, 41, 42	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
44		resmpo 7272	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
45	26, 41, 44	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
46		resmpo 7272	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
47	26, 41, 46	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
48	45, 47	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜓 → (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘f + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
49	40, 43, 48	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))))
50		eldifsni 4722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) → 𝑎 ≠ 𝐸)
51	50	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ≠ 𝐸)
52	51	neneqd 3021	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
53		iffalse 4476	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = 𝐻)
54		iffalse 4476	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) = 𝐻)
55	53, 54	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
56	52, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
57	56	mpoeq3dva 7231	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
58		difss 4108	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁
59		resmpo 7272	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
60	58, 41, 59	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))
61		resmpo 7272	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
62	58, 41, 61	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
63	57, 60, 62	3eqtr4g 2881	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
64		iffalse 4476	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) = 𝐻)
65	53, 64	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
66	52, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
67	66	mpoeq3dva 7231	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
68		resmpo 7272	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
69	58, 41, 68	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
70	67, 60, 69	3eqtr4g 2881	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
71		mdetuni.0g	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
72		mdetuni.1r	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
73		mdetuni.tg	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
74		mdetuni.ff	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
75		mdetuni.al	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
76		mdetuni.li	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
77		mdetuni.sc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
78	2, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77	mdetunilem3 21223	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘f + ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)))) ∧ (((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
79	1, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78	syl332anc 1397	1 ⊢ (𝜓 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ifcif 4467  {csn 4567   × cxp 5553   ↾ cres 5557  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ∘_f cof 7407  Fincfn 8509  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  0_gc0g 16713  1_rcur 19251  Ringcrg 19297   Mat cmat 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-ring 19299  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mat 21017

This theorem is referenced by:  mdetunilem6  21226