Theorem matbas2d 21032

Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matbas2d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
matbas2d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
matbas2d.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
matbas2d	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem matbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas2d.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐾)
2	1	3expb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
3	2	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 𝐶 ∈ 𝐾)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
5	4	fmpo 7766	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 𝐶 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
6	3, 5	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
7		matbas2d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8		matbas2d.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
9		matbas2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		matbas2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
11	9, 10	matbas2 21030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
12	7, 8, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
13		matbas2i.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14	12, 13	syl6reqr 2875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
15	14	eleq2d 2898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁))))
16	10	fvexi 6684	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
17	7, 7	xpexd 7474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
18		elmapg 8419	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
19	16, 17, 18	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
20	15, 19	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
21	6, 20	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   × cxp 5553  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ↑_m cmap 8406  Fincfn 8509  Basecbs 16483   Mat cmat 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mat 21017

This theorem is referenced by:  mpomatmul  21055  dmatmulcl  21109  scmatscmiddistr  21117  marrepcl  21173  marepvcl  21178  submabas  21187  mdetrsca2  21213  mdetr0  21214  mdetrlin2  21216  mdetralt2  21218  mdetero  21219  mdetunilem2  21222  mdetunilem5  21225  mdetunilem6  21226  maduf  21250  madutpos  21251  marep01ma  21269  mat2pmatbas  21334  mat2pmatghm  21338  cpm2mf  21360  m2cpminvid  21361  m2cpminvid2  21363  m2cpmfo  21364  decpmatcl  21375  decpmatmul  21380  pmatcollpw1  21384  pmatcollpw2  21386  monmatcollpw  21387  pmatcollpwlem  21388  pmatcollpw  21389  pmatcollpw3lem  21391  pmatcollpwscmatlem2  21398  pm2mpf1  21407  mply1topmatcl  21413  mp2pm2mplem2  21415  mp2pm2mplem4  21417  pm2mpghm  21424  lmatcl  31081  mdetpmtr1  31088  mdetpmtr2  31089  mdetpmtr12  31090  madjusmdetlem1  31092  madjusmdetlem3  31094