MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matbas2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matbas2d 19995
Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matbas2d.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
matbas2d.r (𝜑𝑅𝑉)
matbas2d.c ((𝜑𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
matbas2d (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem matbas2d
StepHypRef Expression
1 matbas2d.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝐶𝐾)
213expb 1257 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → 𝐶𝐾)
32ralrimivva 2953 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 𝐶𝐾)
4 eqid 2609 . . . 4 (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶)
54fmpt2 7103 . . 3 (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 𝐶𝐾 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
63, 5sylib 206 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
7 matbas2d.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 matbas2d.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
9 matbas2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 matbas2.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
119, 10matbas2 19993 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
127, 8, 11syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
13 matbas2i.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
1412, 13syl6reqr 2662 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
1514eleq2d 2672 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
16 fvex 6097 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
1710, 16eqeltri 2683 . . . 4 𝐾 ∈ V
18 xpexg 6835 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
197, 7, 18syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
20 elmapg 7734 . . . 4 ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
2117, 19, 20sylancr 693 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
2215, 21bitrd 266 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
236, 22mpbird 245 1 (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172   × cxp 5025  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  cmpt2 6528  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  Basecbs 15643   Mat cmat 19979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-prds 15879  df-pws 15881  df-sra 18941  df-rgmod 18942  df-dsmm 19842  df-frlm 19857  df-mat 19980
This theorem is referenced by:  mpt2matmul  20018  dmatmulcl  20072  scmatscmiddistr  20080  marrepcl  20136  marepvcl  20141  submabas  20150  mdetrsca2  20176  mdetr0  20177  mdetrlin2  20179  mdetralt2  20181  mdetero  20182  mdetunilem2  20185  mdetunilem5  20188  mdetunilem6  20189  maduf  20213  madutpos  20214  marep01ma  20232  mat2pmatbas  20297  mat2pmatghm  20301  cpm2mf  20323  m2cpminvid  20324  m2cpminvid2  20326  m2cpmfo  20327  decpmatcl  20338  decpmatmul  20343  pmatcollpw1  20347  pmatcollpw2  20349  monmatcollpw  20350  pmatcollpwlem  20351  pmatcollpw  20352  pmatcollpw3lem  20354  pmatcollpwscmatlem2  20361  pm2mpf1  20370  mply1topmatcl  20376  mp2pm2mplem2  20378  mp2pm2mplem4  20380  pm2mpghm  20387  lmatcl  29003  mdetpmtr1  29010  mdetpmtr2  29011  mdetpmtr12  29012  madjusmdetlem1  29014  madjusmdetlem3  29016
  Copyright terms: Public domain W3C validator