Theorem mhplss 20338

Description: Homogeneous polynomials form a linear subspace of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhplss.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhplss.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhplss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhplss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhplss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhplss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem mhplss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhplss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhplss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mhplss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mhplss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 19298	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		mhplss.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	1, 2, 3, 6, 7	mhpsubg 20336	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))
9		eqid 2820	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
12	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
13	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	2, 3, 4	mplsca 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
15	14	fveq2d 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16	15	eleq2d 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
17	16	biimpar 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
18	17	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
19		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))
20	1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 19	mhpvscacl 20337	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁))) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
21	20	ralrimivva 3190	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))
22	2	mpllmod 20227	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
23	3, 4, 22	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
24		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
25		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
26		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
27		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
28	24, 25, 26, 9, 27	islss4 19730	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
29	23, 28	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (𝐻‘𝑁))))
30	8, 21, 29	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  ℕ₀cn0 11895  Basecbs 16479  Scalarcsca 16564   ·_𝑠 cvsca 16565  Grpcgrp 18099  SubGrpcsubg 18269  Ringcrg 19293  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699   mPoly cmpl 20129   mHomP cmhp 20318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-of 7406  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8831  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-fz 12891  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-psr 20132  df-mpl 20134  df-mhp 20322

This theorem is referenced by: (None)