Theorem mpoexga 7775

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 7774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∈ cmpo 7158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrd  7778  el2mpocsbcl  7780  bropopvvv  7785  bropfvvvv  7787  prdsip  16734  imasds  16786  isofn  17045  setchomfval  17339  setccofval  17342  estrchomfval  17376  estrccofval  17379  lsmvalx  18764  mamuval  20997  mamudm  20999  marrepfval  21169  marrepval0  21170  marrepval  21171  marepvfval  21174  marepvval  21176  submaval0  21189  submaval  21190  maduval  21247  minmar1val0  21256  minmar1val  21257  mat2pmatval  21332  mat2pmatf  21336  m2cpmf  21350  cpm2mval  21358  decpmatval0  21372  decpmatmul  21380  pmatcollpw2lem  21385  pmatcollpw3lem  21391  mply1topmatval  21412  mp2pm2mplem1  21414  xkoptsub  22262  grpodivfval  28311  pstmval  31135  sxsigon  31451  cndprobval  31691  dfrngc2  44292  funcrngcsetc  44318  dfringc2  44338  funcringcsetc  44355  lmod1lem1  44591  lmod1lem2  44592  lmod1lem3  44593  lmod1lem4  44594  lmod1lem5  44595