MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgrf1o0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgrf1o0 26158
Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
nbusgrf1o.f 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
Assertion
Ref Expression
nbusgrf1o0 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0
StepHypRef Expression
1 nbusgrf1o1.n . . . . . 6 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
21eleq2i 2690 . . . . 5 (𝑛𝑁𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3 nbusgrf1o1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43nbusgreledg 26136 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6 prcom 4237 . . . . . . . . . . 11 {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
76eleq1i 2689 . . . . . . . . . 10 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
87biimpi 206 . . . . . . . . 9 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
98adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10 prid1g 4265 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1110adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1211adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13 nbusgrf1o1.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
1413eleq2i 2690 . . . . . . . . 9 ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ {𝑒𝐸𝑈𝑒})
15 eleq2 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈𝑒𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
1615elrab 3346 . . . . . . . . 9 ({𝑈, 𝑛} ∈ {𝑒𝐸𝑈𝑒} ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
1714, 16bitri 264 . . . . . . . 8 ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
189, 12, 17sylanbrc 697 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
1918ex 450 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
205, 19sylbid 230 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
212, 20syl5bi 232 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
2221imp 445 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑛𝑁) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
2322ralrimiva 2960 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
2413rabeq2i 3183 . . . 4 (𝑒𝐼 ↔ (𝑒𝐸𝑈𝑒))
25 nbusgrf1o1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2625, 3, 1edgnbusgreu 26156 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑒𝐸𝑈𝑒)) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2724, 26sylan2b 492 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑒𝐼) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2827ralrimiva 2960 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
29 nbusgrf1o.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
3029f1ompt 6338 . 2 (𝐹:𝑁1-1-onto𝐼 ↔ (∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
3123, 28, 30sylanbrc 697 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ∃!wreu 2909  {crab 2911  {cpr 4150  cmpt 4673  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   USGraph cusgr 25937   NeighbVtx cnbgr 26111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-edg 25840  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-uspgr 25938  df-usgr 25939  df-nbgr 26115
This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  26159
  Copyright terms: Public domain W3C validator