Theorem nbusgrf1o0 27151

Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
nbusgrf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o0	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2	1	eleq2i 2904	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3		nbusgrf1o1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	3	nbusgreledg 27135	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
5	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6		prcom 4668	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
7	6	eleq1i 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
8	7	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
9	8	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10		prid1g 4696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
11	10	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
12	11	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13		eleq2 2901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
14		nbusgrf1o1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
15	13, 14	elrab2 3683	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
16	9, 12, 15	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
17	16	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
18	5, 17	sylbid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
19	2, 18	syl5bi 244	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
20	19	ralrimiv 3181	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
21	14	rabeq2i 3487	. . . 4 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐼 ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒))
22	3, 1	edgnbusgreu 27149	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
23	21, 22	sylan2b 595	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
24	23	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
25		nbusgrf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
26	25	f1ompt 6875	. 2 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼 ↔ (∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
27	20, 24, 26	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃!wreu 3140  {crab 3142  {cpr 4569   ↦ cmpt 5146  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Vtxcvtx 26781  Edgcedg 26832  USGraphcusgr 26934   NeighbVtx cnbgr 27114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-edg 26833  df-upgr 26867  df-umgr 26868  df-uspgr 26935  df-usgr 26936  df-nbgr 27115

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  27152