MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0le2msqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0le2msqi 12784
Description: The square function on nonnegative integers is monotonic. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0le2msqi.1 𝐴 ∈ ℕ0
nn0le2msqi.2 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0le2msqi (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵))

Proof of Theorem nn0le2msqi
StepHypRef Expression
1 nn0le2msqi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0ge0i 11075 . . 3 0 ≤ 𝐴
3 nn0le2msqi.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
43nn0ge0i 11075 . . 3 0 ≤ 𝐵
51nn0rei 11058 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
63nn0rei 11058 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
75, 6le2sqi 12683 . . 3 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
82, 4, 7mp2an 703 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2))
91nn0cni 11059 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
109sqvali 12673 . . 3 (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
113nn0cni 11059 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
1211sqvali 12673 . . 3 (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)
1310, 12breq12i 4490 . 2 ((𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵))
148, 13bitri 262 1 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wcel 1938   class class class wbr 4481  (class class class)co 6426  0cc0 9691   · cmul 9696  cle 9830  2c2 10825  0cn0 11047  cexp 12590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-seq 12532  df-exp 12591
This theorem is referenced by:  nn0opthlem1  12785
  Copyright terms: Public domain W3C validator