MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dec 12987
Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dec 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 11441 . 2 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶)
2 dfdec10 11441 . . . . . 6 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
32oveq2i 6616 . . . . 5 (10 · 𝐴𝐵) = (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
4 1nn 10976 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
54decnncl2 11469 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
65nncni 10975 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
7 3dec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 11249 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
96, 8mulcli 9990 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
10 3dec.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
1110nn0cni 11249 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
126, 9, 11adddii 9995 . . . . 5 (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
133, 12eqtri 2648 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
146, 6, 8mulassi 9994 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (10 · (10 · 𝐴))
1514eqcomi 2635 . . . . . 6 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10 · 10) · 𝐴)
166sqvali 12880 . . . . . . . 8 (10↑2) = (10 · 10)
1716eqcomi 2635 . . . . . . 7 (10 · 10) = (10↑2)
1817oveq1i 6615 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴) = ((10↑2) · 𝐴)
1915, 18eqtri 2648 . . . . 5 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10↑2) · 𝐴)
2019oveq1i 6615 . . . 4 ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵)) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2113, 20eqtri 2648 . . 3 (10 · 𝐴𝐵) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2221oveq1i 6615 . 2 ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
231, 22eqtri 2648 1 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  2c2 11015  0cn0 11237  cdc 11437  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  14975
  Copyright terms: Public domain W3C validator