MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruz 15177
Description: The sequence , 0, and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to 0 but not and minus one belongs to but not 0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 15176. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nthruz (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Proof of Theorem nthruz
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 11483 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
2 0nn0 11495 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3 0nnn 11240 . . . 4 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 470 . . 3 (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 3856 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℕ0))
61, 4, 5mp2 9 . 2 ℕ ⊊ ℕ0
7 nn0ssz 11586 . . 3 0 ⊆ ℤ
8 neg1z 11601 . . . 4 -1 ∈ ℤ
9 neg1lt0 11315 . . . . 5 -1 < 0
10 nn0nlt0 11507 . . . . 5 (-1 ∈ ℕ0 → ¬ -1 < 0)
119, 10mt2 191 . . . 4 ¬ -1 ∈ ℕ0
128, 11pm3.2i 470 . . 3 (-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
13 ssnelpss 3856 . . 3 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊊ ℤ))
147, 12, 13mp2 9 . 2 0 ⊊ ℤ
156, 14pm3.2i 470 1 (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383  wcel 2135  wss 3711  wpss 3712   class class class wbr 4800  0cc0 10124  1c1 10125   < clt 10262  -cneg 10455  cn 11208  0cn0 11480  cz 11565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator