Theorem opnvonmbllem1 42934

Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbllem1.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
opnvonmbllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
opnvonmbllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
opnvonmbllem1.k	⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbllem1	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐺   ℎ,𝐻   ℎ,𝑋,𝑖   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝐷(ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(ℎ,𝑖)   𝑉(ℎ,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbllem1.i	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		opnvonmbllem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
3	2	ffvelrnda 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℚ)
4		opnvonmbllem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
5	4	ffvelrnda 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ)
6		opelxpi 5592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
7	3, 5, 6	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8		opnvonmbllem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
9	1, 7, 8	fmptdf 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10		qex 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ V
11	10, 10	xpex 7476	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13		opnvonmbllem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	12, 13	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
15		elmapg 8419	. . . . . 6 ⊢ (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
17	9, 16	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
18	1, 8	hoi2toco 42909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
19		opnvonmbllem1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
20		opnvonmbllem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
21	19, 20	sstrd 3977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐺)
22	18, 21	eqsstrd 4005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
23	17, 22	jca 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24		nfcv 2977	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℎ
25		nfmpt1 5164	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
26	8, 25	nfcxfr 2975	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐻
27	24, 26	nfeq 2991	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 ℎ = 𝐻
28		coeq2 5729	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ([,) ∘ ℎ) = ([,) ∘ 𝐻))
29	28	fveq1d 6672	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
30	29	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ = 𝐻 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
31	27, 30	ixpeq2d 41350	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
32	31	sseq1d 3998	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33		opnvonmbllem1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
34	32, 33	elrab2 3683	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
35	23, 34	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
36		opnvonmbllem1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
37	36, 18	eleqtrrd 2916	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎℎ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39		nfcv 2977	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐻
40		nfrab1 3384	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
41	33, 40	nfcxfr 2975	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐾
42	31	eleq2d 2898	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ↔ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
43	38, 39, 41, 42	rspcef 41354	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
44	35, 37, 43	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5146   × cxp 5553   ∘ ccom 5559  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  Xcixp 8461  ℚcq 12349  [,)cico 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-z 11983  df-q 12350

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  42935