MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubrg 19001
Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprsubrg.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubrg (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 18985 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2 subrgrcl 18985 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑂 ∈ Ring)
3 opprsubrg.o . . . . 5 𝑂 = (oppr𝑅)
43opprringb 18830 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
52, 4sylibr 224 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
63opprsubg 18834 . . . . . . 7 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
87eleq2d 2823 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9 ralcom 3234 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
10 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (.r𝑂) = (.r𝑂)
1310, 11, 3, 12opprmul 18824 . . . . . . . . 9 (𝑧(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑧)
1413eleq1i 2828 . . . . . . . 8 ((𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
15142ralbii 3117 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
169, 15bitr4i 267 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
1716a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
188, 173anbi13d 1548 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
19 eqid 2758 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2010, 19, 11issubrg2 19000 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)))
213, 10opprbas 18827 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
223, 19oppr1 18832 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑂)
2321, 22, 12issubrg2 19000 . . . . 5 (𝑂 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
244, 23sylbi 207 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2518, 20, 243bitr4d 300 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂)))
261, 5, 25pm5.21nii 367 . 2 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂))
2726eqriv 2755 1 (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  .rcmulr 16142  SubGrpcsubg 17787  1rcur 18699  Ringcrg 18745  opprcoppr 18820  SubRingcsubrg 18976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-subg 17790  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-oppr 18821  df-subrg 18978
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator