Theorem opprsubrg 19001

Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprsubrg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubrg	⊢ (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 18985	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		subrgrcl 18985	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑂 ∈ Ring)
3		opprsubrg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	3	opprringb 18830	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
5	2, 4	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
6	3	opprsubg 18834	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
8	7	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9		ralcom 3234	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
10		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	10, 11, 3, 12	opprmul 18824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)
14	13	eleq1i 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
15	14	2ralbii 3117	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
16	9, 15	bitr4i 267	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
18	8, 17	3anbi13d 1548	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
19		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	10, 19, 11	issubrg2 19000	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)))
21	3, 10	opprbas 18827	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
22	3, 19	oppr1 18832	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
23	21, 22, 12	issubrg2 19000	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
24	4, 23	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
25	18, 20, 24	3bitr4d 300	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂)))
26	1, 5, 25	pm5.21nii 367	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂))
27	26	eqriv 2755	1 ⊢ (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∀wral 3048  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  ._rcmulr 16142  SubGrpcsubg 17787  1_rcur 18699  Ringcrg 18745  opp_rcoppr 18820  SubRingcsubrg 18976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-subg 17790  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-oppr 18821  df-subrg 18978

This theorem is referenced by: (None)