Theorem ordon 7498

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6214	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7497	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6194	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5172   E cep 5464   We wwe 5513  Ord word 6190  Oncon0 6191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-ord 6194  df-on 6195

This theorem is referenced by:  onprc  7499  ssorduni  7500  ordeleqon  7503  ordsson  7504  onint  7510  suceloni  7528  limon  7551  tfi  7568  ordom  7589  ordtypelem2  8983  hartogs  9008  card2on  9018  tskwe  9379  alephsmo  9528  ondomon  9985  dford3lem2  39644  dford3  39645  iunord  44799