Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyoncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oyoncl 16831
 Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u (𝜑𝑈𝑉)
oyoncl.h (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
Assertion
Ref Expression
oyoncl (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.y . . 3 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2 oyoncl.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
3 oyoncl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
43oppccat 16303 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
6 eqid 2621 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7 oyoncl.s . . 3 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8 eqid 2621 . . 3 ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9 oyoncl.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
10 eqid 2621 . . . . . . 7 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
113, 10oppchomf 16301 . . . . . 6 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1211rneqi 5312 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝑂)
13 relxp 5188 . . . . . . 7 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
1510, 14homffn 16274 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16 fndm 5948 . . . . . . . . 9 ((Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1817releqi 5163 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1913, 18mpbir 221 . . . . . 6 Rel dom (Homf𝐶)
20 rntpos 7310 . . . . . 6 (Rel dom (Homf𝐶) → ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶)
2212, 21eqtr3i 2645 . . . 4 ran (Homf𝑂) = ran (Homf𝐶)
23 oyoncl.h . . . 4 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
2422, 23syl5eqss 3628 . . 3 (𝜑 → ran (Homf𝑂) ⊆ 𝑈)
251, 5, 6, 7, 8, 9, 24yoncl 16823 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
26 oyoncl.q . . . 4 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
2732oppchomf 16305 . . . . . 6 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
2827a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
2932oppccomf 16306 . . . . . 6 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
31 eqidd 2622 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝑆) = (Homf𝑆))
32 eqidd 2622 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝑆) = (compf𝑆))
336oppccat 16303 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
345, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
357setccat 16656 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑆 ∈ Cat)
369, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Cat)
3728, 30, 31, 32, 2, 34, 36, 36fucpropd 16558 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3826, 37syl5eq 2667 . . 3 (𝜑𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3938oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
4025, 39eleqtrrd 2701 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  Rel wrel 5079   Fn wfn 5842  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  tpos ctpos 7296  Basecbs 15781  Catccat 16246  Homf chomf 16248  compfccomf 16249  oppCatcoppc 16292   Func cfunc 16435   FuncCat cfuc 16523  SetCatcsetc 16646  Yoncyon 16810 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-hom 15887  df-cco 15888  df-cat 16250  df-cid 16251  df-homf 16252  df-comf 16253  df-oppc 16293  df-func 16439  df-nat 16524  df-fuc 16525  df-setc 16647  df-xpc 16733  df-curf 16775  df-hof 16811  df-yon 16812 This theorem is referenced by:  oyon1cl  16832
 Copyright terms: Public domain W3C validator