MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopbaslem 22281
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 ⊆ ℝ*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 11938 . . . 4 (,) ∈ V
21rnex 6868 . . 3 ran (,) ∈ V
3 imassrn 5287 . . 3 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ⊆ ran (,)
42, 3ssexi 4630 . 2 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
5 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ*
65sseli 3468 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℝ*)
75sseli 3468 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ*)
86, 7anim12i 587 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
95sseli 3468 . . . . . . . 8 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ*)
105sseli 3468 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℝ*)
119, 10anim12i 587 . . . . . . 7 ((𝑣𝑆𝑢𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*))
12 iooin 11949 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
138, 11, 12syl2an 492 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
14 ifcl 3983 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑆𝑧𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
1514ancoms 467 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆𝑣𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
16 ifcl 3983 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑆𝑢𝑆) → if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆)
17 df-ov 6429 . . . . . . . . 9 (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) = ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩)
18 opelxpi 4966 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
19 ioof 12011 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
20 ffun 5846 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
22 xpss12 5041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
235, 5, 22mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2419fdmi 5850 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2523, 24sseqtr4i 3505 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
26 funfvima2 6274 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
2721, 25, 26mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2818, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2917, 28syl5eqel 2596 . . . . . . . 8 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3015, 16, 29syl2an 492 . . . . . . 7 (((𝑧𝑆𝑣𝑆) ∧ (𝑤𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3130an4s 864 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3213, 31eqeltrd 2592 . . . . 5 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3332ralrimivva 2858 . . . 4 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3433rgen2a 2864 . . 3 𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
35 ffn 5843 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3619, 35ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
37 ineq1 3672 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
3837eleq1d 2576 . . . . . . 7 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3938ralbidv 2873 . . . . . 6 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4039ralima 6279 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4136, 23, 40mp2an 703 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
42 fveq2 5987 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
43 df-ov 6429 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
4442, 43syl6eqr 2566 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
4544ineq1d 3678 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
4645eleq1d 2576 . . . . . . 7 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4746ralbidv 2873 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
48 ineq2 3673 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
4948eleq1d 2576 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5049ralima 6279 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5136, 23, 50mp2an 703 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
52 fveq2 5987 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
53 df-ov 6429 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
5452, 53syl6eqr 2566 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
5554ineq2d 3679 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
5655eleq1d 2576 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5756ralxp 5077 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5851, 57bitri 262 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5947, 58syl6bb 274 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
6059ralxp 5077 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
6141, 60bitri 262 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
6234, 61mpbir 219 . 2 𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
63 fiinbas 20470 . 2 ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
644, 62, 63mp2an 703 1 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wral 2800  Vcvv 3077  cin 3443  wss 3444  ifcif 3939  𝒫 cpw 4011  cop 4034   class class class wbr 4481   × cxp 4930  dom cdm 4932  ran crn 4933  cima 4935  Fun wfun 5683   Fn wfn 5684  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  cr 9690  *cxr 9828  cle 9830  (,)cioo 11915  TopBasesctb 20423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-ioo 11919  df-bases 20425
This theorem is referenced by:  qtopbas  22282  retopbas  22283
  Copyright terms: Public domain W3C validator