Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopbaslem 22609
 Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 ⊆ ℝ*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 12236 . . . 4 (,) ∈ V
21rnex 7142 . . 3 ran (,) ∈ V
3 imassrn 5512 . . 3 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ⊆ ran (,)
42, 3ssexi 4836 . 2 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
5 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ*
65sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℝ*)
75sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ*)
86, 7anim12i 589 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
95sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ*)
105sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℝ*)
119, 10anim12i 589 . . . . . . 7 ((𝑣𝑆𝑢𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*))
12 iooin 12247 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
138, 11, 12syl2an 493 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
14 ifcl 4163 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑆𝑧𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
1514ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆𝑣𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
16 ifcl 4163 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑆𝑢𝑆) → if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆)
17 df-ov 6693 . . . . . . . . 9 (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) = ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩)
18 opelxpi 5182 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
19 ioof 12309 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
20 ffun 6086 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
22 xpss12 5158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
235, 5, 22mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2419fdmi 6090 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2523, 24sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
26 funfvima2 6533 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
2721, 25, 26mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2818, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2917, 28syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3015, 16, 29syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝑧𝑆𝑣𝑆) ∧ (𝑤𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3130an4s 886 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3213, 31eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3332ralrimivva 3000 . . . 4 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3433rgen2a 3006 . . 3 𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
35 ffn 6083 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3619, 35ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
37 ineq1 3840 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
3837eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3938ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4039ralima 6538 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4136, 23, 40mp2an 708 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
42 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
43 df-ov 6693 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
4442, 43syl6eqr 2703 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
4544ineq1d 3846 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
4645eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4746ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
48 ineq2 3841 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
4948eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5049ralima 6538 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5136, 23, 50mp2an 708 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
52 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
53 df-ov 6693 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
5452, 53syl6eqr 2703 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
5554ineq2d 3847 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
5655eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5756ralxp 5296 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5851, 57bitri 264 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5947, 58syl6bb 276 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
6059ralxp 5296 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
6141, 60bitri 264 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
6234, 61mpbir 221 . 2 𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
63 fiinbas 20804 . 2 ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
644, 62, 63mp2an 708 1 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  ℝ*cxr 10111   ≤ cle 10113  (,)cioo 12213  TopBasesctb 20797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217  df-bases 20798 This theorem is referenced by:  qtopbas  22610  retopbas  22611
 Copyright terms: Public domain W3C validator