MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopbas 22322
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 12101 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
21fdmi 5951 . . . 4 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
32imaeq2i 5370 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4 imadmrn 5382 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ran (,)
53, 4eqtr3i 2633 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6 ssid 3586 . . 3 * ⊆ ℝ*
76qtopbaslem 22320 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
85, 7eqeltrri 2684 1 ran (,) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  𝒫 cpw 4107   × cxp 5026  dom cdm 5028  ran crn 5029  cima 5031  cr 9792  *cxr 9930  (,)cioo 12005  TopBasesctb 20468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-ioo 12009  df-bases 20470
This theorem is referenced by:  retop  22323  uniretop  22324  iooretop  22327  qdensere  22331  tgioo  22355  xrtgioo  22365  bndth  22513  ovolicc2  23042  cncombf  23176  cnmbf  23177  elmbfmvol2  29490  iccllyscon  30320  rellyscon  30321  mblfinlem3  32442  mblfinlem4  32443  ismblfin  32444  cnambfre  32452
  Copyright terms: Public domain W3C validator