MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopbas 22785
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 12484 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
21fdmi 6213 . . . 4 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
32imaeq2i 5622 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4 imadmrn 5634 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ran (,)
53, 4eqtr3i 2784 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6 ssid 3765 . . 3 * ⊆ ℝ*
76qtopbaslem 22783 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
85, 7eqeltrri 2836 1 ran (,) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  𝒫 cpw 4302   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  cr 10147  *cxr 10285  (,)cioo 12388  TopBasesctb 20971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-ioo 12392  df-bases 20972
This theorem is referenced by:  retop  22786  uniretop  22787  iooretop  22790  qdensere  22794  tgioo  22820  xrtgioo  22830  bndth  22978  ovolicc2  23510  cncombf  23644  cnmbf  23645  elmbfmvol2  30659  iccllysconn  31560  rellysconn  31561  mblfinlem3  33779  mblfinlem4  33780  ismblfin  33781  cnambfre  33789
  Copyright terms: Public domain W3C validator