MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem redwlk 26451
Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
redwlk ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))

Proof of Theorem redwlk
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 26391 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2621 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2621 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 26389 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
5 wrdred1 13295 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
73wlkf 26393 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
8 redwlklem 26450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))
983exp 1261 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (1 ≤ (#‘𝐹) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1 ≤ (#‘𝐹) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
1110imp 445 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺)))
12 wlkcl 26394 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13 wrdred1hash 13296 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
147, 13sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
15 nn0z 11351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
16 fzossrbm1 12445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
18 ssralv 3650 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
2017sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
21 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
2322eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘))
24 fzo0ss1 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)))
2615adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
27 1zzd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
28 fzoaddel2 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
3024, 29sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
31 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3332eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
3423, 33eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))))
35 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3736eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
3837fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
3923sneqd 4165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → {(𝑃𝑘)} = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)})
4038, 39eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}))
4123, 33preq12d 4251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
4241, 38sseq12d 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ↔ {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))
4334, 40, 42ifpbi123d 1026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ↔ if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
4443biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
4544ralimdva 2957 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
4619, 45syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
48 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) = (0..^((#‘𝐹) − 1)))
4948eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) = (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))))
5049raleqdv 3136 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
5150adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
5247, 51sylibd 229 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
5312, 14, 52syl2an2r 875 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
546, 11, 533anim123d 1403 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
5554imp 445 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
56 id 22 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
57 resexg 5406 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V)
58 resexg 5406 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)
592, 3iswlk 26389 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
6059bicomd 213 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
6156, 57, 58, 60syl3an 1365 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
6255, 61syl5ib 234 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
6362expcomd 454 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
644, 63sylbid 230 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
651, 64mpcom 38 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
6665anabsi5 857 1 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  if-wif 1011  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890  cle 10026  cmin 10217  0cn0 11243  cz 11328  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  #chash 13064  Word cword 13237  Vtxcvtx 25787  iEdgciedg 25788  Walkscwlks 26375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-wlks 26378
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator