Theorem redwlk 27454

Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

Proof of Theorem redwlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 27394	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 27392	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))))
5		wrdred1 13912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
7	3	wlkf 27396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
8		redwlklem 27453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))
9	8	3exp 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
11	10	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺)))
12		wlkcl 27397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		wrdred1hash 13913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
14	7, 13	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
15		nn0z 12006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
16		fzossrbm1 13067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
18		ssralv 4033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20	17	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
21	20	fvresd 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
22	21	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘))
23		fzo0ss1 13068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
24		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
25	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		1zzd 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
27		fzoaddel2 13094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
29	23, 28	sseldi 3965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
30	29	fvresd 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
31	30	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
32	22, 31	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))))
33		fvres 6689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34	33	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
35	34	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
36	35	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
37	22	sneqd 4579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘)} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)})
38	36, 37	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}))
39	22, 31	preq12d 4677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
40	39, 36	sseq12d 4000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))
41	32, 38, 40	ifpbi123d 1072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
42	41	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
43	42	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
44	19, 43	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
45	44	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
46		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
47	46	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) = (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))))
48	47	raleqdv 3415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
49	48	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
50	45, 49	sylibd 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
51	12, 14, 50	syl2an2r 683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
52	6, 11, 51	3anim123d 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
53	52	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
54		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
55		resexg 5898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V)
56		resexg 5898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V)
57	2, 3	iswlk 27392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
58	57	bicomd 225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
59	54, 55, 56, 58	syl3an 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
60	53, 59	syl5ib 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
61	60	expcomd 419	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
62	4, 61	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
63	1, 62	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
64	63	anabsi5 667	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  if-wif 1057   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5066  dom cdm 5555   ↾ cres 5557  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862  Vtxcvtx 26781  iEdgciedg 26782  Walkscwlks 27378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-wlks 27381

This theorem is referenced by: (None)