Theorem resspwsds 22965

Description: Restriction of a power metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspwsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
resspwsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
resspwsds.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
resspwsds.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resspwsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspwsds.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
2		resspwsds.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		resspwsds.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 16742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		fconstmpt 5600	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 7153	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10	7, 9	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
11	1, 10	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
12		resspwsds.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
13		ovex 7175	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼)
15		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))
16	14, 15	pwsval 16742	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
17	13, 3, 16	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
18		fconstmpt 5600	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
19	18	oveq2i 7153	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
20	17, 19	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
21	12, 20	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
22		resspwsds.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
23		resspwsds.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		resspwsds.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
25		fvexd 6671	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26		fvexd 6671	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
27	2	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑊)
28		resspwsds.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	11, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29	ressprdsds 22964	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3486  {csn 4553   ↦ cmpt 5132   × cxp 5539   ↾ cres 5543  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  Basecbs 16466   ↾_s cress 16467  Scalarcsca 16551  distcds 16557  X_scprds 16702   ↑_s cpws 16703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-fz 12883  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ip 16566  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ds 16570  df-hom 16572  df-cco 16573  df-prds 16704  df-pws 16706

This theorem is referenced by: (None)