Theorem ressprdsds 22977

Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressprdsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
ressprdsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
ressprdsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
ressprdsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
ressprdsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
ressprdsds.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
ressprdsds.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
ressprdsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
ressprdsds.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
ressprdsds.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ressprdsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem ressprdsds

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7311	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
2	1	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3		ressprdsds.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)
4		eqid 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
5		eqid 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
6	4, 5	ressds 16682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑍 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8	7	oveqd 7170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥)))
9	8	mpteq2dva 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
10	9	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
11	10	rneqd 5805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
12	11	uneq1d 4135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
13	12	supeq1d 8907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
14		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
15		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
16		ressprdsds.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
17	16	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑈)
18		ressprdsds.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	18	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20		ressprdsds.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
21	20	ralrimiva 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
23		eqid 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	4, 23	ressbasss 16552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
26	25	ralrimiva 3181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
27		ss2ixp 8471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
29		eqid 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))) = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
30		eqid 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
31		ressprdsds.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
32		ovex 7186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
33	32	rgenw 3149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
35		eqid 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
36	29, 30, 31, 18, 34, 35	prdsbas3 16750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
37	14, 15, 16, 18, 21, 23	prdsbas3 16750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
38	28, 36, 37	3sstr4d 4011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
39		ressprdsds.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
40		ressprdsds.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
41	40	fveq2d 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
42	39, 41	syl5eq 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
43		ressprdsds.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
44	43	fveq2d 6671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
45	38, 42, 44	3sstr4d 4011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
46	45	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
47	44	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
48	46, 47	sseqtrd 4004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
49		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
50	48, 49	sseldd 3965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
51		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
52	48, 51	sseldd 3965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
53		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
54	14, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53	prdsdsval2 16753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
55	31	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ 𝑉)
56	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
57	42	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
58	49, 57	eleqtrd 2914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
59	51, 57	eleqtrd 2914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
60		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))
61		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
62	29, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61	prdsdsval2 16753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
63	13, 54, 62	3eqtr4d 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
64		ressprdsds.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
65	43	fveq2d 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
66	64, 65	syl5eq 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
67	66	oveqdr 7181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔))
68		ressprdsds.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
69	40	fveq2d 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐻) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
70	68, 69	syl5eq 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
71	70	oveqdr 7181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
72	63, 67, 71	3eqtr4d 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
73	2, 72	eqtr2d 2856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
74	73	ralrimivva 3190	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
75	18	mptexd 6984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
76		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
77	32, 76	dmmpti 6489	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼)
79	29, 31, 75, 30, 78, 61	prdsdsfn 16734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
80	42	sqxpeqd 5584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
81	70, 80	fneq12d 6445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))))
82	79, 81	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵))
83	18	mptexd 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
84		dmmptg 6093	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
85	21, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
86	14, 16, 83, 15, 85, 53	prdsdsfn 16734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
87	44	sqxpeqd 5584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) = ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
88	66, 87	fneq12d 6445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ↔ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))))
89	86, 88	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
90		xpss12 5567	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌)) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
91	45, 45, 90	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
92		fnssres 6467	. . . 4 ⊢ ((𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
93	89, 91, 92	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
94		eqfnov2 7278	. . 3 ⊢ ((𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
95	82, 93, 94	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
96	74, 95	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137  Vcvv 3493   ∪ cun 3931   ⊆ wss 3933  {csn 4564   ↦ cmpt 5143   × cxp 5550  dom cdm 5552  ran crn 5553   ↾ cres 5554   Fn wfn 6347  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  Xcixp 8458  supcsup 8901  0cc0 10534  ℝ^*cxr 10671   < clt 10672  Basecbs 16479   ↾_s cress 16480  distcds 16570  X_scprds 16715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8903  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-dec 12097  df-uz 12242  df-fz 12891  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-prds 16717

This theorem is referenced by:  resspwsds  22978  prdsbnd2  35109