MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressprdsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprdsds 22086
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
ressprdsds.h (𝜑𝐻 = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
ressprdsds.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
ressprdsds.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
ressprdsds.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
ressprdsds.s (𝜑𝑆𝑈)
ressprdsds.t (𝜑𝑇𝑉)
ressprdsds.i (𝜑𝐼𝑊)
ressprdsds.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑋)
ressprdsds.a ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑍)
Assertion
Ref Expression
ressprdsds (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6753 . . . . 5 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
21adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑍)
4 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
5 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
64, 5ressds 15994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑍 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅s 𝐴)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅s 𝐴)))
87oveqd 6621 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥)))
98mpteq2dva 4704 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
109adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
1110rneqd 5313 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
1211uneq1d 3744 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
1312supeq1d 8296 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
14 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)) = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
15 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑈)
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑋)
2120ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
23 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
244, 23ressbasss 15853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
2625ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
27 ss2ixp 7865 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅) → X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
29 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))) = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))
30 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇𝑉)
32 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅s 𝐴) ∈ V
3332rgenw 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V)
35 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐴)) = (Base‘(𝑅s 𝐴))
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 16062 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)))
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 16062 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
3828, 36, 373sstr4d 3627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐻)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
4140fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
4239, 41syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
4443fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
4538, 42, 443sstr4d 3627 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
4744adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
4846, 47sseqtrd 3620 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
49 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
5048, 49sseldd 3584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
51 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
5248, 51sseldd 3584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
53 eqid 2621 . . . . . . 7 (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 16065 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
5531adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑇𝑉)
5633a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V)
5742adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
5849, 57eleqtrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
5951, 57eleqtrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
60 eqid 2621 . . . . . . 7 (dist‘(𝑅s 𝐴)) = (dist‘(𝑅s 𝐴))
61 eqid 2621 . . . . . . 7 (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 16065 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
6313, 54, 623eqtr4d 2665 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔))
64 ressprdsds.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘𝑌)
6543fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
6664, 65syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
6766oveqdr 6628 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔))
68 ressprdsds.e . . . . . . 7 𝐸 = (dist‘𝐻)
6940fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘𝐻) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
7068, 69syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝜑𝐸 = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
7170oveqdr 6628 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔))
7263, 67, 713eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
732, 72eqtr2d 2656 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
7473ralrimivva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
75 mptexg 6438 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) ∈ V)
7618, 75syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) ∈ V)
77 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))
7832, 77dmmpti 5980 . . . . . 6 dom (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = 𝐼
7978a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = 𝐼)
8029, 31, 76, 30, 79, 61prdsdsfn 16046 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))))
8142sqxpeqd 5101 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))))
8270, 81fneq12d 5941 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))))
8380, 82mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵))
84 mptexg 6438 . . . . . . 7 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼𝑅) ∈ V)
8518, 84syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) ∈ V)
86 dmmptg 5591 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → dom (𝑥𝐼𝑅) = 𝐼)
8721, 86syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝐼𝑅) = 𝐼)
8814, 16, 85, 15, 87, 53prdsdsfn 16046 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))))
8944sqxpeqd 5101 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) = ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))))
9066, 89fneq12d 5941 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ↔ (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))))
9188, 90mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
92 xpss12 5186 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌)) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
9345, 45, 92syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
94 fnssres 5962 . . . 4 ((𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9591, 93, 94syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
96 eqfnov2 6720 . . 3 ((𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
9783, 95, 96syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
9874, 97mpbird 247 1 (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cun 3553  wss 3555  {csn 4148  cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  Xcixp 7852  supcsup 8290  0cc0 9880  *cxr 10017   < clt 10018  Basecbs 15781  s cress 15782  distcds 15871  Xscprds 16027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-prds 16029
This theorem is referenced by:  resspwsds  22087  prdsbnd2  33223
  Copyright terms: Public domain W3C validator