Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubclem4 41403
 Description: Lemma 4 for rhmsubc 41404. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubclem4 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubclem4
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝜑)
21adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝜑)
3 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
43adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
5 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑅)
65adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
7 rngcrescrhm.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
8 rngcrescrhm.c . . . . . . . 8 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
9 rngcrescrhm.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10 rngcrescrhm.h . . . . . . . 8 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
117, 8, 9, 10rhmsubclem2 41401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
122, 4, 6, 11syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
1312eleq2d 2684 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑅)
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
167, 8, 9, 10rhmsubclem2 41401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑅𝑧𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
172, 6, 15, 16syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
1817eleq2d 2684 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1913, 18anbi12d 746 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20 rhmco 18669 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2120ancoms 469 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2219, 21syl6bi 243 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
2322imp 445 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
247ad3antrrr 765 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
258eqcomi 2630 . . . 4 (RngCat‘𝑈) = 𝐶
2625fveq2i 6156 . . 3 (comp‘(RngCat‘𝑈)) = (comp‘𝐶)
27 inss2 3817 . . . . . . 7 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
289, 27syl6eqss 3639 . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑈)
2928sselda 3587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥𝑈)
3029adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑈)
3130adantr 481 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥𝑈)
3228sseld 3586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑦𝑈))
3332adantrd 484 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑈))
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑈))
3534imp 445 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑈)
3635adantr 481 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦𝑈)
3728sseld 3586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑅𝑧𝑈))
3837adantld 483 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑈))
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑈))
4039imp 445 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑈)
4140adantr 481 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧𝑈)
4210oveqi 6623 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)
434, 6ovresd 6761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
4442, 43syl5eq 2667 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
4544eleq2d 2684 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
46 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
47 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
4846, 47rhmf 18658 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
4945, 48syl6bi 243 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5049com12 32 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5150adantr 481 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5251impcom 446 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5310oveqi 6623 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧)
54 ovres 6760 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5554adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5653, 55syl5eq 2667 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5756eleq2d 2684 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
58 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
5947, 58rhmf 18658 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6057, 59syl6bi 243 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6160com12 32 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6261adantl 482 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6362impcom 446 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
648, 24, 26, 31, 36, 41, 52, 63rngcco 41285 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
657, 8, 9, 10rhmsubclem2 41401 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅𝑧𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
662, 4, 15, 65syl3anc 1323 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6766adantr 481 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6823, 64, 673eltr4d 2713 1 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3558  ⟨cop 4159   × cxp 5077   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  compcco 15885  Ringcrg 18479   RingHom crh 18644  RngCatcrngc 41271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-resc 16403  df-estrc 16695  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-ghm 17590  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-rnghom 18647  df-rnghomo 41201  df-rngc 41273 This theorem is referenced by:  rhmsubc  41404
 Copyright terms: Public domain W3C validator