MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovres 6753
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5108 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2 fvres 6164 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
4 df-ov 6607 . 2 (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 df-ov 6607 . 2 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
63, 4, 53eqtr4g 2680 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4154   × cxp 5072  cres 5076  cfv 5847  (class class class)co 6604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080  df-res 5086  df-iota 5810  df-fv 5855  df-ov 6607
This theorem is referenced by:  ovresd  6754  oprres  6755  oprssov  6756  ofmresval  6863  cantnfval2  8510  mulnzcnopr  10617  prdsdsval3  16066  frmdplusg  17312  frmdadd  17313  grpissubg  17535  gaid  17653  gass  17655  gasubg  17656  mplsubrglem  19358  mamures  20115  mdetrlin  20327  mdetrsca  20328  pmatcollpw3lem  20507  tsmsxplem1  21866  tsmsxplem2  21867  xmetres2  22076  ressprdsds  22086  blres  22146  xmetresbl  22152  mscl  22176  xmscl  22177  xmsge0  22178  xmseq0  22179  nmfval2  22305  nmval2  22306  isngp3  22312  ngpds  22318  ngpocelbl  22418  xrsdsre  22521  divcn  22579  cncfmet  22619  cfilresi  23001  cfilres  23002  dvdsmulf1o  24820  sspgval  27433  sspsval  27435  sspmlem  27436  hhssabloilem  27967  hhssabloi  27968  hhssnv  27970  hhssmetdval  27984  raddcn  29757  xrge0pluscn  29768  cvmlift2lem9  31001  icoreval  32833  icoreelrnab  32834  equivbnd2  33223  ismtyres  33239  iccbnd  33271  exidreslem  33308  divrngcl  33388  isdrngo2  33389  rnghmresel  41252  rnghmsscmap2  41261  rnghmsscmap  41262  rnghmsubcsetclem2  41264  rngcifuestrc  41285  rhmresel  41298  rhmsscmap2  41307  rhmsscmap  41308  rhmsubcsetclem2  41310  rhmsscrnghm  41314  rhmsubcrngclem2  41316  rhmsubclem4  41377
  Copyright terms: Public domain W3C validator