Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringchomfval 41330
 Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbas.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
ringchomfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
ringchomfval (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem ringchomfval
StepHypRef Expression
1 ringchomfval.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2 ringcbas.c . . . . 5 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3 ringcbas.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 ringcbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
52, 4, 3ringcbas 41329 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
6 eqidd 2622 . . . . 5 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
72, 3, 5, 6ringcval 41326 . . . 4 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
87fveq2d 6162 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
91, 8syl5eq 2667 . 2 (𝜑𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10 eqid 2621 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11 eqid 2621 . . 3 (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12 fvexd 6170 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
135, 6rhmresfn 41327 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14 inss1 3817 . . . . 5 (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
1716, 3estrcbas 16705 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
1817eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
1915, 5, 183sstr4d 3633 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
2010, 11, 12, 13, 19reschom 16430 . 2 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
219, 20eqtr4d 2658 1 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560   × cxp 5082   ↾ cres 5086  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  Hom chom 15892   ↾cat cresc 16408  ExtStrCatcestrc 16702  Ringcrg 18487   RingHom crh 18652  RingCatcringc 41321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-resc 16411  df-estrc 16703  df-mhm 17275  df-ghm 17598  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-rnghom 18655  df-ringc 41323 This theorem is referenced by:  ringchom  41331  ringchomfeqhom  41333  ringccofval  41334  rhmsubcsetclem1  41339  rhmsubcrngclem1  41345  funcringcsetc  41353  irinitoringc  41387
 Copyright terms: Public domain W3C validator