Theorem reschom 17083

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschom	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Proof of Theorem reschom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7175	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V
2		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		rescbas.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		rescbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	4	fvexi 6670	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5211	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	7, 7	xpexd 7460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9		fnex 6966	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
11		homid 16671	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
12	11	setsid 16521	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
13	1, 10, 12	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
14		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
15		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15, 7, 2	rescval2 17081	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
17	16	fveq2d 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
18	13, 17	eqtr4d 2859	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3486   ⊆ wss 3924  ⟨cop 4559   × cxp 5539   Fn wfn 6336  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ndxcnx 16463   sSet csts 16464  Basecbs 16466   ↾_s cress 16467  Hom chom 16559   ↾_cat cresc 17061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-ltxr 10666  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-dec 12086  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-sets 16473  df-hom 16572  df-resc 17064

This theorem is referenced by:  reschomf  17084  subccatid  17099  issubc3  17102  fullresc  17104  funcres  17149  funcres2b  17150  funcres2  17151  idfusubc  44222  rngchomfval  44322  ringchomfval  44368