MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlmscaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlmscaf 19148
Description: Functionalized scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
rlmscaf (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmscaf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 18435 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4 eqid 2621 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
51, 4mgpplusg 18433 . . 3 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6 eqid 2621 . . 3 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
73, 5, 6plusffval 17187 . 2 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r𝑅)𝑦))
8 rlmbas 19135 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9 rlmsca2 19141 . . 3 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
10 df-base 15805 . . . 4 Base = Slot 1
1110, 2strfvi 15853 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
12 eqid 2621 . . 3 ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
13 rlmvsca 19142 . . 3 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
148, 9, 11, 12, 13scaffval 18821 . 2 ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r𝑅)𝑦))
157, 14eqtr4i 2646 1 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480   I cid 4994  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  1c1 9897  Basecbs 15800  .rcmulr 15882  +𝑓cplusf 17179  mulGrpcmgp 18429   ·sf cscaf 18804  ringLModcrglmod 19109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-plusf 17181  df-mgp 18430  df-scaf 18806  df-sra 19112  df-rgmod 19113
This theorem is referenced by:  nrgtrg  22434
  Copyright terms: Public domain W3C validator