Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngccat 41743
Description: The category of non-unital rings is a category. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rngccat.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
rngccat (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem rngccat
StepHypRef Expression
1 rngccat.c . . 3 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2 id 22 . . 3 (𝑈𝑉𝑈𝑉)
3 eqidd 2621 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
4 eqidd 2621 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
51, 2, 3, 4rngcval 41727 . 2 (𝑈𝑉𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
6 eqid 2620 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
7 eqid 2620 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8 eqidd 2621 . . . 4 (𝑈𝑉 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
9 incom 3797 . . . . . . 7 (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
1110sqxpeqd 5131 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)) = ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈)))
1211reseq2d 5385 . . . 4 (𝑈𝑉 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHomo ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
137, 2, 8, 12rnghmsubcsetc 41742 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
146, 13subccat 16489 . 2 (𝑈𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) ∈ Cat)
155, 14eqeltrd 2699 1 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  cin 3566   × cxp 5102  cres 5106  cfv 5876  (class class class)co 6635  Catccat 16306  cat cresc 16449  ExtStrCatcestrc 16743  Rngcrng 41639   RngHomo crngh 41650  RngCatcrngc 41722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-cat 16310  df-cid 16311  df-homf 16312  df-ssc 16451  df-resc 16452  df-subc 16453  df-estrc 16744  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-grp 17406  df-ghm 17639  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-mgmhm 41544  df-rng0 41640  df-rnghomo 41652  df-rngc 41724
This theorem is referenced by:  rngcsect  41745  rngcinv  41746  rngciso  41747  zrinitorngc  41765  zrtermorngc  41766  zrzeroorngc  41767  rhmsubcrngc  41794  rhmsubc  41855
  Copyright terms: Public domain W3C validator