MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngidpropd 18461
Description: The ring identity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rngidpropd (𝜑 → (1r𝐾) = (1r𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rngidpropd
StepHypRef Expression
1 rngidpropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 eqid 2606 . . . . 5 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3 eqid 2606 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
42, 3mgpbas 18261 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
51, 4syl6eq 2656 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6 rngidpropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
7 eqid 2606 . . . . 5 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
8 eqid 2606 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
97, 8mgpbas 18261 . . . 4 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
106, 9syl6eq 2656 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
11 rngidpropd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
12 eqid 2606 . . . . . 6 (.r𝐾) = (.r𝐾)
132, 12mgpplusg 18259 . . . . 5 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
1413oveqi 6537 . . . 4 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
15 eqid 2606 . . . . . 6 (.r𝐿) = (.r𝐿)
167, 15mgpplusg 18259 . . . . 5 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
1716oveqi 6537 . . . 4 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
1811, 14, 173eqtr3g 2663 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
195, 10, 18grpidpropd 17027 . 2 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
20 eqid 2606 . . 3 (1r𝐾) = (1r𝐾)
212, 20ringidval 18269 . 2 (1r𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
22 eqid 2606 . . 3 (1r𝐿) = (1r𝐿)
237, 22ringidval 18269 . 2 (1r𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿))
2419, 21, 233eqtr4g 2665 1 (𝜑 → (1r𝐾) = (1r𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  .rcmulr 15712  0gc0g 15866  mulGrpcmgp 18255  1rcur 18267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-mgp 18256  df-ur 18268
This theorem is referenced by:  unitpropd  18463  subrgpropd  18580  lmodprop2d  18691  opsr1  19353  ply1mpl1  19391  zlm1  29138  hlhils1N  36056
  Copyright terms: Public domain W3C validator