MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftval 13858
Description: Value of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵𝐴)))

Proof of Theorem shftval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . 5 𝐹 ∈ V
21shftfib 13856 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
32eleq2d 2716 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
43iotabidv 5910 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵})) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
5 dffv3 6225 . 2 ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}))
6 dffv3 6225 . 2 (𝐹‘(𝐵𝐴)) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
74, 5, 63eqtr4g 2710 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210  cima 5146  cio 5887  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cmin 10304   shift cshi 13850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-shft 13851
This theorem is referenced by:  shftval2  13859  shftval4  13861  shftval5  13862  shftf  13863  seqshft  13869  climshftlem  14349  isumshft  14615  cvgrat  14659  abelthlem6  24235  shftvalg  31743  uzmptshftfval  38862
  Copyright terms: Public domain W3C validator