Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzmptshftfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzmptshftfval 38066
 Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzmptshftfval.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
uzmptshftfval.b 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzmptshftfval.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
uzmptshftfval (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval
StepHypRef Expression
1 uzmptshftfval.b . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2 uzmptshftfval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
31, 2fnmpti 5989 . . . . 5 𝐹 Fn 𝑍
4 uzmptshftfval.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 11443 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 uzmptshftfval.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 fvex 6168 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ∈ V
86, 7eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
98mptex 6451 . . . . . . 7 (𝑥𝑍𝐵) ∈ V
102, 9eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
1110shftfn 13763 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
123, 5, 11sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
13 uzmptshftfval.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 shftuz 13759 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
154, 13, 14syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
166eleq2i 2690 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)))
1817rabbiia 3177 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)}
19 uzmptshftfval.w . . . . . 6 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
2015, 18, 193eqtr4g 2680 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
2120fneq2d 5950 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
2212, 21mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
23 dffn5 6208 . . 3 ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
2422, 23sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
25 uzssz 11667 . . . . . . . 8 (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
2619, 25eqsstri 3620 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℤ
27 zsscn 11345 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
2826, 27sstri 3597 . . . . . 6 𝑊 ⊆ ℂ
2928sseli 3584 . . . . 5 (𝑦𝑊𝑦 ∈ ℂ)
3010shftval 13764 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
315, 29, 30syl2an 494 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3219eleq2i 2690 . . . . . . 7 (𝑦𝑊𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
3313, 4jca 554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
34 eluzsub 11677 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
35343expa 1262 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3633, 35sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3732, 36sylan2b 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3837, 6syl6eleqr 2709 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ 𝑍)
39 uzmptshftfval.c . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
4039, 2, 1fvmpt3i 6254 . . . . 5 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
4138, 40syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
4231, 41eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
4342mpteq2dva 4714 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦𝑊𝐶))
4424, 43eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2912  Vcvv 3190   ↦ cmpt 4683   Fn wfn 5852  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894   + caddc 9899   − cmin 10226  ℤcz 11337  ℤ≥cuz 11647   shift cshi 13756 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-shft 13757 This theorem is referenced by:  dvradcnv2  38067  binomcxplemnotnn0  38076
 Copyright terms: Public domain W3C validator