MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumshft 14615
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumshft.2 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isumshft (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
31, 2zaddcld 11524 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
54eleq2i 2722 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑊𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
62zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7 eluzelcn 11737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
87, 4eleq2s 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑊𝑚 ∈ ℂ)
9 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ𝑀)
10 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ∈ V
119, 10eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
1211mptex 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝐵) ∈ V
1312shftval 13858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
146, 8, 13syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
1716fvmpt2i 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
19 eluzelcn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
2019, 9eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
21 addcom 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
226, 20, 21syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
2423, 9syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluzadd 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2624, 2, 25syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2722, 26eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2827, 4syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
29 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
30 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝑊𝐴) = (𝑗𝑊𝐴)
3129, 30fvmpti 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
3318, 32eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
3433ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
35 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛)
3635nfeq1 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
38 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
3938fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
4037, 39eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
4136, 40rspc 3334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
4234, 41mpan9 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
4342ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → ∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
451adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
462adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
47 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚𝑊)
4847, 4syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
49 eluzsub 11755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5150, 9syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ 𝑍)
52 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
53 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚𝐾)))
5453fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
5552, 54eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾)))))
5655rspccva 3339 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
5744, 51, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
58 pncan3 10327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
596, 8, 58syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
6059fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
6114, 57, 603eqtrrd 2690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
625, 61sylan2br 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
633, 62seqfeq 12866 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)))
6463breq1d 4695 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
6512isershft 14438 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
661, 2, 65syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
6764, 66bitr4d 271 . . . . 5 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
6867iotabidv 5910 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
69 df-fv 5934 . . . 4 ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥)
70 df-fv 5934 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥)
7168, 69, 703eqtr4g 2710 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
72 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
73 isumshft.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
7473, 30fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ)
75 ffvelrn 6397 . . . . 5 (((𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ 𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
7674, 75sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
774, 3, 72, 76isum 14494 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))))
78 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
7974adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ)
8028ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
8138eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
8281rspccva 3339 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
8380, 82sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
84 ffvelrn 6397 . . . . . 6 (((𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
8579, 83, 84syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
8642, 85eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
879, 1, 78, 86isum 14494 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
8871, 77, 873eqtr4d 2695 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
89 sumfc 14484 . 2 Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗𝑊 𝐴
90 sumfc 14484 . 2 Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘𝑍 𝐵
9188, 89, 903eqtr3g 2708 1 (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052  cio 5887  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  seqcseq 12841   shift cshi 13850  cli 14259  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  eftlub  14883  pserdv2  24229  logtayl  24451  binomcxplemnotnn0  38872
  Copyright terms: Public domain W3C validator