Theorem sqrtthlem 13896

Description: Lemma for sqrtth 13898. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtthlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtthlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtval 13771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
2	1	eqcomd 2615	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴))
3		sqrtcl 13895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4		sqreu 13894	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		oveq1 6534	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
6	5	eqeq1d 2611	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴))
7		fveq2 6088	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐴)))
8	7	breq2d 4589	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴))))
9		oveq2 6535	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)))
10		neleq1 2887	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
12	6, 8, 11	3anbi123d 1390	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+)))
13	12	riota2 6511	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
14	3, 4, 13	syl2anc 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
15	2, 14	mpbird 245	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ∉ wnel 2780  ∃!wreu 2897   class class class wbr 4577  ‘cfv 5790  ℩crio 6488  (class class class)co 6527  ℂcc 9790  0cc0 9792  ici 9794   · cmul 9797   ≤ cle 9931  2c2 10917  ℝ⁺crp 11664  ↑cexp 12677  ℜcre 13631  √csqrt 13767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770

This theorem is referenced by:  sqrtth  13898  sqrtrege0  13899  eqsqrtd  13901