Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submcmn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submcmn2 18444
 Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
submcmn2.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submcmn2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)))

Proof of Theorem submcmn2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
21submbas 17556 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
3 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41, 3ressplusg 16195 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
54oveqd 6830 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
64oveqd 6830 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))
75, 6eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
82, 7raleqbidv 3291 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
92, 8raleqbidv 3291 . 2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
10 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1110submss 17551 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 submcmn2.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1310, 3, 12sscntz 17959 . . 3 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
1411, 11, 13syl2anc 696 . 2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
151submmnd 17555 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
16 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
1816, 17iscmn 18400 . . . 4 (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
1918baib 982 . . 3 (𝐻 ∈ Mnd → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2015, 19syl 17 . 2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
219, 14, 203bitr4rd 301 1 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059   ↾s cress 16060  +gcplusg 16143  Mndcmnd 17495  SubMndcsubmnd 17535  Cntzccntz 17948  CMndccmn 18393 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-cntz 17950  df-cmn 18395 This theorem is referenced by:  cntzspan  18447  gsumzsplit  18527  gsumzoppg  18544  gsumpt  18561
 Copyright terms: Public domain W3C validator