Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | swrdf1.w |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷) |
2 | | swrdf1.m |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁)) |
3 | | swrdf1.n |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) |
4 | | swrdf 14012 |
. . . 4
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶𝐷) |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1367 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶𝐷) |
6 | 5 | ffdmd 6537 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)⟶𝐷) |
7 | | fzossz 13058 |
. . . . . . . 8
⊢
(0..^(𝑁 −
𝑀)) ⊆
ℤ |
8 | | simpllr 774 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
9 | 5 | fdmd 6523 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉) = (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
10 | 9 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉) = (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
11 | 8, 10 | eleqtrd 2915 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
12 | 7, 11 | sseldi 3965 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
13 | 12 | zcnd 12089 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℂ) |
14 | | simplr 767 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
15 | 14, 10 | eleqtrd 2915 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
16 | 7, 15 | sseldi 3965 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
17 | 16 | zcnd 12089 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℂ) |
18 | | fzssz 12910 |
. . . . . . . . 9
⊢
(0...𝑁) ⊆
ℤ |
19 | 18, 2 | sseldi 3965 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
20 | 19 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑀 ∈ ℤ) |
21 | 20 | zcnd 12089 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑀 ∈ ℂ) |
22 | | swrdf1.1 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) |
23 | 22 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) |
24 | | elfzuz 12905 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘0)) |
25 | | fzoss1 13065 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)) |
26 | 2, 24, 25 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)) |
27 | | elfzuz3 12906 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈
(0...(♯‘𝑊))
→ (♯‘𝑊)
∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
28 | | fzoss2 13066 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘𝑊)
∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
29 | 3, 27, 28 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
30 | 26, 29 | sstrd 3977 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
31 | 30 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) |
32 | | elfzelz 12909 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈
(0...(♯‘𝑊))
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
33 | 3, 32 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
34 | 33 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
35 | | fzoaddel2 13094 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
36 | 11, 34, 20, 35 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
37 | 31, 36 | sseldd 3968 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
38 | | wrddm 13869 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊))) |
39 | 1, 38 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊))) |
40 | 39 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊))) |
41 | 37, 40 | eleqtrrd 2916 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) |
42 | | fzoaddel2 13094 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
43 | 15, 34, 20, 42 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑗 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
44 | 31, 43 | sseldd 3968 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑗 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
45 | 44, 40 | eleqtrrd 2916 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) |
46 | | simpr 487 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) |
47 | 1 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑊 ∈ Word 𝐷) |
48 | 2 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁)) |
49 | 3 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) |
50 | | swrdfv 14010 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) |
51 | 47, 48, 49, 11, 50 | syl31anc 1369 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) |
52 | | swrdfv 14010 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) |
53 | 47, 48, 49, 15, 52 | syl31anc 1369 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) |
54 | 46, 51, 53 | 3eqtr3d 2864 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) |
55 | | f1veqaeq 7015 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ ((𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊 ∧ (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊)) → ((𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀))) |
56 | 55 | anassrs 470 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) → ((𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀))) |
57 | 56 | imp 409 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑗 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑗 + 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀)) |
58 | 23, 41, 45, 54, 57 | syl1111anc 837 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → (𝑖 + 𝑀) = (𝑗 + 𝑀)) |
59 | 13, 17, 21, 58 | addcan2ad 10846 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗) |
60 | 59 | ex 415 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) → (((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
61 | 60 | anasss 469 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉))) → (((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
62 | 61 | ralrimivva 3191 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)∀𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)(((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
63 | | dff13 7013 |
. 2
⊢ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)–1-1→𝐷 ↔ ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)⟶𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)∀𝑗 ∈ dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)(((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑖) = ((𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))) |
64 | 6, 62, 63 | sylanbrc 585 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉):dom (𝑊 substr 〈𝑀, 𝑁〉)–1-1→𝐷) |