MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdlend 13369
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdlend ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdlend
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 13355 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
21adantr 481 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
3 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → 𝐿𝐹)
4 3simpc 1058 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
54adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6 fzon 12430 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐿𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
83, 7mpbid 222 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9 0ss 3944 . . . . 5 ∅ ⊆ dom 𝑊
108, 9syl6eqss 3634 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
1110iftrued 4066 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
12 fzo0n 12431 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
1312biimpa 501 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
14133adantl1 1215 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
1514mpteq1d 4698 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
16 mpt0 5978 . . . 4 (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅
1715, 16syl6eq 2671 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅)
182, 11, 173eqtrd 2659 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1918ex 450 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  cop 4154   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  ..^cfzo 12406  Word cword 13230   substr csubstr 13234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-substr 13242
This theorem is referenced by:  swrdnd  13370  swrdnd2  13371  swrdsb0eq  13385  swrdccat  13430
  Copyright terms: Public domain W3C validator