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Theorem swrdccat 13539
Description: The subword of a concatenation of two words as concatenation of subwords of the two concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l 𝐿 = (#‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccat ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))

Proof of Theorem swrdccat
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . 5 𝐿 = (#‘𝐴)
21swrdccat3 13538 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))))))
32imp 444 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))
4 lencl 13356 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
61eqcomi 2660 . . . . . . 7 (#‘𝐴) = 𝐿
76eleq1i 2721 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
8 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
9 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
1110opeq2d 4440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
1211oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
13 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = (𝑀𝐿))
1413opeq1d 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
1514oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
17 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
18 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
19 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
2220, 21sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
23 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2624, 25sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2722, 26jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2818, 27sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2917, 28anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
30 3anass 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
3129, 30sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
3231ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
33 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
34 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3533, 34anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
37 subge0 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
3837adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
39 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
41 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4440, 41, 433jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
45 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4746expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀 → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4838, 47sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5035, 36, 49syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀))
5352impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → 𝑁𝑀)
5434adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5836adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
5955, 57, 583jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
6160ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
62 lesub1 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6453, 63mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿))
65 swrdlend 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
6632, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
6716, 66eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
68 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
6968opeq1d 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
7069oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
7117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
73 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 0 ∈ ℤ)
7424, 18, 25syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7772, 73, 763jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
7854, 36anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
80 suble0 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8281biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ≤ 0)
83 swrdlend 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
8477, 82, 83sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8570, 84sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8667, 85pm2.61ian 848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8712, 86oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅))
88 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
89 ccatrid 13405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9487, 93eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
95 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
96953ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
9796opeq2d 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
9897oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
99 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
10099, 20, 183anim123i 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
1011003expb 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
102 swrdlend 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
104103imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
1051043adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
10698, 105eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = ∅)
10756, 36, 37syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
108107biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
110109imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
1111103adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
112111, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
113112oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
114106, 113oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
115 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
117 ccatlid 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉 → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1201193ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
121114, 120eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
122953ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
123122opeq2d 4440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
124123oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
12533, 36, 37syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
126125adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
128127biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝐿𝑀))
129128con3dimp 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
1301293adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
131130, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
132131opeq1d 4439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
133132oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
134124, 133oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))
13594, 121, 1342if2 4169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))
136135exp32 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
137136com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1381373adant3 1101 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1398, 138sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
140139adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
141140com13 88 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1427, 141sylbi 207 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1435, 142mpcom 38 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))))))
144143imp 444 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))
1453, 144eqtr4d 2688 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)))
146145ex 449 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948  ifcif 4119  cop 4216   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335
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