Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgplusg 18029
 Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgplusg.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgplusg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgplusg + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem symgplusg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgplusg.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgplusg.2 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbas 18020 . . . . 5 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
4 eqid 2760 . . . . 5 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
5 eqid 2760 . . . . 5 (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
61, 3, 4, 5symgval 18019 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
76fveq2d 6357 . . 3 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8 symgplusg.3 . . 3 + = (+g𝐺)
9 fvex 6363 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
102, 9eqeltri 2835 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1110, 10mpt2ex 7416 . . . 4 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
12 eqid 2760 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
1312topgrpplusg 16266 . . . 4 ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
1411, 13ax-mp 5 . . 3 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
157, 8, 143eqtr4g 2819 . 2 (𝐴 ∈ V → + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)))
16 fvprc 6347 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
171, 16syl5eq 2806 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
1817fveq2d 6357 . . . 4 𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g‘∅))
19 plusgid 16199 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
2019str0 16133 . . . 4 ∅ = (+g‘∅)
2118, 8, 203eqtr4g 2819 . . 3 𝐴 ∈ V → + = ∅)
22 vex 3343 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
23 vex 3343 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
2422, 23coex 7284 . . . . . 6 (𝑓𝑔) ∈ V
254, 24fnmpt2i 7408 . . . . 5 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn (𝐵 × 𝐵)
2617fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
27 base0 16134 . . . . . . . . 9 ∅ = (Base‘∅)
2826, 2, 273eqtr4g 2819 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2928xpeq2d 5296 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
30 xp0 5710 . . . . . . 7 (𝐵 × ∅) = ∅
3129, 30syl6eq 2810 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
3231fneq2d 6143 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn ∅))
3325, 32mpbii 223 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn ∅)
34 fn0 6172 . . . 4 ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn ∅ ↔ (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = ∅)
3533, 34sylib 208 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = ∅)
3621, 35eqtr4d 2797 . 2 𝐴 ∈ V → + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)))
3715, 36pm2.61i 176 1 + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  {ctp 4325  ⟨cop 4327   × cxp 5264   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049   ↦ cmpt2 6816  ndxcnx 16076  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  TopSetcts 16169  ∏tcpt 16321  SymGrpcsymg 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-tset 16182  df-symg 18018 This theorem is referenced by:  symgov  18030  symgtset  18039  pgrpsubgsymg  18048  symgtgp  22126
 Copyright terms: Public domain W3C validator