MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwncolg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwncolg3 25352
Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
btwncolg3.z (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
Assertion
Ref Expression
btwncolg3 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem btwncolg3
StepHypRef Expression
1 btwncolg3.z . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
213mix3d 1236 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 tglngval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
9 tgcolg.z . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tgcolg 25349 . 2 (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
112, 10mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  LineGclng 25236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-trkgc 25247  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  25359  lnxfr  25361  tgidinside  25366  tgbtwnconn1lem3  25369  tgbtwnconnln3  25373  tgbtwnconnln1  25375  tgbtwnconnln2  25376  legov  25380  legov2  25381  legtrd  25384  tglineeltr  25426  krippenlem  25485  midexlem  25487  footex  25513  mideulem2  25526  hlpasch  25548  hypcgrlem1  25591  cgracol  25619
  Copyright terms: Public domain W3C validator