MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2adedgspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2adedgspth 26730
Description: In a multigraph, two adjacent edges with different endvertices form a simple path of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
umgr2adedgwlk.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g (𝜑𝐺 ∈ UMGraph )
umgr2adedgwlk.a (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j (𝜑 → (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k (𝜑 → (𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶})
umgr2adedgspth.n (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
umgr2adedgspth (𝜑𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem umgr2adedgspth
StepHypRef Expression
1 umgr2adedgwlk.p . 2 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 umgr2adedgwlk.f . 2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 umgr2adedgwlk.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph )
4 umgr2adedgwlk.a . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5 3anass 1040 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
63, 4, 5sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7 umgr2adedgwlk.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
87umgr2adedgwlklem 26726 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
96, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
109simprd 479 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
119simpld 475 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
12 ssid 3608 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13 umgr2adedgwlk.j . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵})
1412, 13syl5sseqr 3638 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽))
15 ssid 3608 . . . 4 {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16 umgr2adedgwlk.k . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶})
1715, 16syl5sseqr 3638 . . 3 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾))
1814, 17jca 554 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
19 eqid 2621 . 2 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20 umgr2adedgwlk.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 𝐽 → (𝐼𝐾) = (𝐼𝐽))
2221eqcoms 2629 . . . . . . . 8 (𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝐾) = (𝐼𝐽))
2322eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
24 eqtr2 2641 . . . . . . . 8 (((𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵}) → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
2524ex 450 . . . . . . 7 ((𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
2623, 25syl6bi 243 . . . . . 6 (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
2726com13 88 . . . . 5 ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
2813, 16, 27sylc 65 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
29 eqcom 2628 . . . . . 6 ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶})
30 prcom 4242 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
3130eqeq2i 2633 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
3229, 31bitri 264 . . . . 5 ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
3319, 7umgrpredgv 25947 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3433simpld 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
3534ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3619, 7umgrpredgv 25947 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3736simprd 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
3837ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3935, 38anim12d 585 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
403, 4, 39sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41 preqr1g 4358 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
43 umgr2adedgspth.n . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
44 eqneqall 2801 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐶 → (𝐴𝐶𝐽𝐾))
4542, 43, 44syl6ci 71 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐽𝐾))
4632, 45syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → 𝐽𝐾))
4728, 46syld 47 . . 3 (𝜑 → (𝐽 = 𝐾𝐽𝐾))
48 neqne 2798 . . 3 𝐽 = 𝐾𝐽𝐾)
4947, 48pm2.61d1 171 . 2 (𝜑𝐽𝐾)
501, 2, 10, 11, 18, 19, 20, 49, 432spthd 26723 1 (𝜑𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3559  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cfv 5852  ⟨“cs2 13531  ⟨“cs3 13532  Vtxcvtx 25791  iEdgciedg 25792  Edgcedg 25856   UMGraph cumgr 25889  SPathscspths 26495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-edg 25857  df-umgr 25891  df-wlks 26382  df-trls 26475  df-spths 26499
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator