Theorem vtxdlfgrval 27267

Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdlfgrval	⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfgrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6671	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxdlfgrval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfgrval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfgrval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
6	3, 4, 5	vtxdgval 27250	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
8	2, 7	syl5eq 2868	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
9		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
10	4, 5, 9	lfgrnloop 26910	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
11	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
12	11	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
13		hash0 13729	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
14	12, 13	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
15	14	oveq2d 7172	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0))
16	4	dmeqi 5773	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
17	5, 16	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (iEdg‘𝐺)
18		fvex 6683	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
19	18	dmex 7616	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
20	17, 19	eqeltri 2909	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
21	20	rabex 5235	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ V
22		hashxnn0 13700	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0*)
23		xnn0xr 11973	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ*)
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ*
25		xaddid1 12635	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
26	24, 25	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
27	8, 15, 26	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142  Vcvv 3494  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  {csn 4567   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676  2c2 11693  ℕ₀^*cxnn0 11968   +_𝑒 cxad 12506  ♯chash 13691  Vtxcvtx 26781  iEdgciedg 26782  VtxDegcvtxdg 27247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-xadd 12509  df-fz 12894  df-hash 13692  df-vtxdg 27248

This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  27268  1hevtxdg1  27288