Theorem zexpgcd 39234

Description: Exponentiation distributes over GCD. zgcdsq 16093 extended to nonnegative exponents. nn0expgcd 39233 extended to integer bases by symmetry. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zexpgcd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem zexpgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdabs 15877	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
2	1	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
3	2	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) = ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)))
4	3	oveq1d 7171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁))
5		nn0abscl 14672	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
6		nn0abscl 14672	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (abs‘𝐵) ∈ ℕ0)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		nn0expgcd 39233	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁) = (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁) = (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
10		zcn 11987	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	absexpd 14812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
14	13	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (abs‘(𝐴↑𝑁)))
15		zcn 11987	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 12	absexpd 14812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵↑𝑁)) = ((abs‘𝐵)↑𝑁))
18	17	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵)↑𝑁) = (abs‘(𝐵↑𝑁)))
19	14, 18	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)) = ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))))
20		zexpcl 13445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
21	20	3adant2 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
22		zexpcl 13445	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
23	22	3adant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
24		gcdabs 15877	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
25	21, 23, 24	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
26	19, 25	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
27	4, 9, 26	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ↑cexp 13430  abscabs 14593   gcd cgcd 15843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844

This theorem is referenced by:  numdenexp  39235