Theorem 2euswapdc 2145

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2euswapdc	|- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2euswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim 1686	. . . . 5 |- ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph ) )
3		2moswapdc 2144	. . . . 5 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) ) )
4	3	imp 124	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) )
5	2, 4	anim12d 335	. . 3 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) -> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) ) )
6		eu5 2101	. . 3 |- ( E! x E. y ph <-> ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) )
7		eu5 2101	. . 3 |- ( E! y E. x ph <-> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) )
8	5, 6, 7	3imtr4g 205	. 2 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )
9	8	ex 115	1 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   A.wal 1371   E.wex 1515   E!weu 2054   E*wmo 2055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058

This theorem is referenced by:  euxfr2dc  2958  2reuswapdc  2977