Theorem 2euswapdc 2111

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2euswapdc	|- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2euswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim 1657	. . . . 5 |- ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph ) )
3		2moswapdc 2110	. . . . 5 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) ) )
4	3	imp 123	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) )
5	2, 4	anim12d 333	. . 3 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) -> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) ) )
6		eu5 2067	. . 3 |- ( E! x E. y ph <-> ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) )
7		eu5 2067	. . 3 |- ( E! y E. x ph <-> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) )
8	5, 6, 7	3imtr4g 204	. 2 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )
9	8	ex 114	1 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 830   A.wal 1347   E.wex 1486   E!weu 2020   E*wmo 2021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024

This theorem is referenced by:  euxfr2dc  2916  2reuswapdc  2935