Theorem 2euswapdc 2147

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2euswapdc	|- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2euswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim 1687	. . . . 5 |- ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph ) )
3		2moswapdc 2146	. . . . 5 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) ) )
4	3	imp 124	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) )
5	2, 4	anim12d 335	. . 3 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) -> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) ) )
6		eu5 2103	. . 3 |- ( E! x E. y ph <-> ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) )
7		eu5 2103	. . 3 |- ( E! y E. x ph <-> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) )
8	5, 6, 7	3imtr4g 205	. 2 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )
9	8	ex 115	1 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   A.wal 1371   E.wex 1516   E!weu 2055   E*wmo 2056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059

This theorem is referenced by:  euxfr2dc  2965  2reuswapdc  2984