Theorem 2euswapdc 2039

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2euswapdc	|- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2euswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim 1598	. . . . 5 |- ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph ) )
3		2moswapdc 2038	. . . . 5 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) ) )
4	3	imp 122	. . . 4 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) )
5	2, 4	anim12d 328	. . 3 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) -> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) ) )
6		eu5 1995	. . 3 |- ( E! x E. y ph <-> ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) )
7		eu5 1995	. . 3 |- ( E! y E. x ph <-> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) )
8	5, 6, 7	3imtr4g 203	. 2 |- ( (DECID E. x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )
9	8	ex 113	1 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 780   A.wal 1287   E.wex 1426   E!weu 1948   E*wmo 1949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952

This theorem is referenced by:  euxfr2dc  2798  2reuswapdc  2817